Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là

Đáp án: A

·        C hình tròn = 2r. 3,14; S hình tròn = 3,14r²(r là bán kính);

C hình vuông = 4.a; S hình vuông = a.a (a là số đo cạnh hình vuông).

Do chu vi hai hình này bằng nhau, nên: 2r. 3,14 = 4.a, suy ra a = 3,14 .r/2  .

Thay a = 3,14.r/2    vào công thức tính diện tích hình vuông, ta có: 
S hình vuông = a.a = (3,14 . r/2)² < 3,14r²

Do đó nếu hình vuông và tròn có chu vi bằng nhau thì hình tròn có diện tích lớn hơn. => A sai.

·        Xét các tam giác có chu vi 2p không đổi. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh, theo công thức Hê-rông ta có:

S² = (p – a) (p – b) (p – c) ( S là diện tích tam giác). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số p – a; p – b; p – c ta có:

$$\begin{gathered} (p-a)(p-b)(p-c)\le {\left(\frac{p-a+p-b+p-c}{3}\right)}^3 \\ \iff (p-a)(p-b)(p-c)\le {\left(\frac{3p-2p}{3}\right)}^3=\frac{p^3}{27} \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra p – a = p – b = p – c  ⇔ a = b = c hay tam giác có 3 cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều ⇒ B đúng.

·        C hình tròn = 2r. 3,14. Do hình tròn có cùng chu vi nên có cùng bán kính. Mà S hình tròn = 3,14r²  nên diện tích của chúng bằng nhau. Do đó các hình tròn có cùng chu vi thì chúng có cùng diện tích ⇒ C đúng.

·        Chu vi hình chữ nhật : P = 2(a+b); Diện tích hình chữ nhật (S) = a.b (a là chiều dài,b là chiều rộng).

Ta có $$\begin{gathered} (a-b{)}^2\ge 0 \Rightarrow a^2+b^2+2ab-4ab\ge 0 \\ \Rightarrow (a+b{)}^2\ge 4ab\Rightarrow ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}\Rightarrow S=ab\le \frac{{\left({\displaystyle \frac{P}{2}}\right)}^2}{4}=\frac{P^2}{16}. \end{gathered}$$

            Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b hay chiều dài bằng chiều rộng, tức là hình chữ nhật là hình vuông ⇒ D đúng.