Đáp án A

Ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}$ (t/c) $\Rightarrow \frac{AD}{4}=\frac{DC}{6}=\frac{AD+DC}{4+6}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow AD = 4.\frac{1}{2}= 2, DC = 6.\frac{1}{2} = 3$

Suy ra $\frac{DI}{IB}=\frac{DC}{CB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{DI}{DB}=\frac{1}{3}$

$\frac{BE}{EA}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{6}{11}$

$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$

Suy ra $S_{DIE} = \frac{1}{3}{S}_{BDE}$

$\Rightarrow S_{DIE} =\frac{1}{3}.\frac{6}{11}.\frac{2}{5}=\frac{4}{55} S_{ABC}$

Vậy $\frac{S_{DIE}}{S_{ABC}}=\frac{4}{55}$

Đáp án D

Vì MD và ME lần lượt là phân giác của $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$ nên $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},\frac{EA}{EC}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC nên $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ => DE // BC (định lí Talet đảo)

Vì DE // BC nên $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}=\frac{IE}{MC}$ (hệ quả định lí Talet) mà BM = MC nên DI = IE.

Nên cả A, B đều đúng

Đáp án D

Vì DI = IE (cmt) nên MI là đường trung tuyến của tam giác MDE.

ΔMDE vuông (vì MD, ME là tia phân giác của góc kề bù) nên MI = DI = IE

Đặt DI = MI = x, ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}$ (cmt) nên $\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$

Từ đó x = 6 suy ra DE = 12cm

Đáp án C

Gọi D, M là giao điểm của AI, AG với BC.

Vì AD là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$ nên $\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$ (t/c)

$\Rightarrow \frac{BD}{12}=\frac{DC}{18}=\frac{BD+DC}{12+18}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow BD = 12.\frac{1}{2} = 6, DC =18.\frac{1}{2} = 9$

Lại có: BI là tia phân giác $\widehat{ABD}$ nên $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{12}{6}=2$ (tính chất)

=> $\frac{ID}{AD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$ hay D đúng

Mà AG = 2GM (vì G là trọng tâm)

Nên $\frac{AI}{ID}=\frac{AG}{GM}=2$ hay B đúng

Theo định lí đảo của định lí Talet ta có:

IG // DM => IG // BC hay A đúng

Chỉ có C sai

Đáp án A

Do M là trung điểm BC nên $MB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.15 = 7,5 cm$

Mà BD = 6cm nên DM = 7,5 cm – 6cm = 1,5 cm

Do IG // DM nên $\frac{IG}{DM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow IG = \frac{2}{3}DM = \frac{1}{3}.1,5 = 1 cm$