Một cái bể dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,8 m và chiều rộng bằng \(\frac{4}{9}\) chiều dài. Hỏi người ta phải đổ vào trong bể (chưa có nước) đó bao nhiêu lít nước để lượng nước trong bể cao 0,5 m?

Giải:

a) D là trung điểm AC nên AD = \(\frac{1}{2}\)AC

E là trung điểm AB nên AE = \(\frac{1}{2}\)AB.

∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat {BAC}\) là góc chung;

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

b) G là trọng tâm của ∆ABC nên \(BG = \frac{2}{3}BD\) và \(CG = \frac{2}{3}CE\).

Mà BD = CE (do ∆ADB = ∆AEC)

Nên BG = CG

Do đó ∆GBC cân tại G.

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GD = \frac{1}{2}GB,GE = \frac{1}{2}GC\)

Do đó \(GD + GE = \frac{1}{2}\left( {GB + GC} \right)\).

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra \(GD + GE > \frac{1}{2}BC\).

Giải:

a) P(x) = x²(2x³ – 3) + 5x⁴ – 7x³ + x² – x;

            = 2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x

            = 2x⁵ + 5x⁴ – 7x³ – 2x² – x.

Q(x) = 3x⁴ – 2x²(x³ – 3) – 2x³ + x² – 1

         = 3x⁴ – 2x⁵ + 6x² – 2x³ + x² – 1

         = –2x⁵ + 3x⁴ – 2x³ + 7x² – 1.

b) Ta có P(x) = Q(x) + R(x)

Suy ra R(x) = P(x) – Q(x)

R(x) = (2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x) – (3x⁴ – 2x⁵ + 6x² – 2x³ + x² – 1)

         = 2x⁵ – 3x² + 5x⁴ – 7x³ + x² – x – 3x⁴ + 2x⁵ – 6x² + 2x³ – x² + 1

         = 4x⁵ + 2x⁴ – 5x³ – 9x² – x + 1.

Đa thức R(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là 4, hệ số tự do là 1.

c) Ta có P(x) = 2x⁵ + 5x⁴ – 7x³ – 2x² – x có hệ số tự do là 0 nên x = 0 là một nghiệm của đa thức.

Q(0) = –2.0⁵ + 3.0⁴ – 2.0³ + 7.0² – 1 = – 1.

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức Q(x).