Cho mạch điện như hình vẽ, biết R₁ = R₃ = 45 Ω, R₂ = 90 Ω, U = 90 V. Khi khóa K mở hoặc đóng thì cường độ dòng điện qua R₄ không đổi. Tính R₄, U₄.

Lời giải:

+ Khi K mở ta có sơ đồ:

\[{R_{13}} = {R_1} + {R_3} = 45 + 45 = 90\Omega \]

\[{R_{123}} = \frac{{{R_{13}}.{R_2}}}{{{R_{13}} + {R_2}}} = \frac{{90.90}}{{90 + 90}} = 45\Omega \]

Điện trở tương đương toàn mạch là: \[R = {R_{123}} + {R_4} = 45 + {R_4}\]

Cường độ dòng điện qua \[{R_4}\]khi K mở là: \[{I_4} = \frac{U}{R} = \frac{{90}}{{45 + {R_4}}}\]

+ Khi K đóng ta có sơ đồ:

\[{R_{34}}\prime = \frac{{{R_3}.{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} = \frac{{45{R_4}}}{{45 + {R_4}}}\]

\[{R_{234}}\prime = {R_2} + {R_{34}}\prime = 90 + \frac{{45{R_4}}}{{45 + {R_4}}} = \frac{{4050 + 135{R_4}}}{{45 + {R_4}}}\]

Ta có: \[{U_{234}}' = U = 90V\]

\[ \Rightarrow {I_{234}}' = {I_2}' = {I_{34}}' = \frac{U}{{{R_{234}}}} = \frac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{4050 + 135{R_4}}} = \frac{{4050 + 90{R_4}}}{{4050 + 135{R_4}}}\]

\[ \Rightarrow {U_2}^' = {I_2}^'{R_2} = \frac{{\left( {4050 + 90{R_4}} \right).90}}{{4050 + 135{R_4}}} = \frac{{364500 + 8100{R_4}}}{{4050 + 135{R_4}}}\]

\[ = > {U_4}' = {U_{34}}' = {U_{234}}' - {U_2}' = 90 - \frac{{364500 + 8100{R_4}}}{{4050 + 135{R_4}}}\] \[ = \frac{{364500 + 12150{R_4} - 364500 - 8100{R_4}}}{{4050 + 135{R_4}}} = \frac{{4050{R_4}}}{{4050 + 135{R_4}}}\]

\[ \Rightarrow {I_4}^' = \frac{{{U_4}^'}}{{{R_4}}} = \frac{{4050{R_4}}}{{{R_4}\left( {4050 + 135{R_4}} \right)}} = \frac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}}\]

Từ hai trường hợp K đóng và K mở trên suy ra:

\[{I_4} = {I_4}^' \Leftrightarrow \frac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}} = \frac{{90}}{{45 + {R_4}}}\]

\[ \Rightarrow 4050\left( {45 + {R_4}} \right) = 90\left( {4050 + 135{R_4}} \right)\]

\[ \Rightarrow {R_4} = - 22,5\,\Omega \] (loại). Không có giá trị của R₄ thoả mãn điều kiện bài toán.