Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,D\) sao cho \(AC = 3AE\) và \(AD = \frac{1}{3}AB\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(EC\). Biết rằng .

 a) \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\).

 b) \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

 c) .

 d) \(ID.IB = IE.IC\).

Gọi quãng đường \(AB\) là \(x\) (\(x > 0\), km).

Thời gian xe tải đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ)

Ta có \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là:

\(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ).

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm \({\rm{5 km/h}}\) là: \(45 + 5 = 50\) (km/h).

Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}\) (km).

Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (giờ)

Vì xe con đến \(B\) sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút \(\left( { = \frac{{49}}{{20}}{\rm{ h}}} \right)\) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\).

Giải phương trình, ta được:

\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\)

\(\frac{{20x}}{{600}} - \left( {\frac{{10x}}{{600}} + \frac{{3x}}{{600}}} \right) = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)

\(\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)

\(7x = 1{\rm{ 470}}\)

\(x = 1{\rm{ 470:7}}\)

\(x = 210\) (thỏa mãn)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(210\)km.

Đáp án đúng là: A

Có  thì ta có \(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\).