Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,D\) sao cho \(AC = 3AE\) và \(AD = \frac{1}{3}AB\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(EC\). Biết rằng .

 a) \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\).

 b) \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

 c) .

 d) \(ID.IB = IE.IC\).

Đáp án đúng là:                a) Đ         b) Đ         c) S         d) Đ

a) Theo đề, ta có  nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\) (hai góc tương ứng).

Do đó ý a) đúng.

b) Ta có: \(AC = 3AE\) hay \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}\); \(AD = \frac{1}{3}AB\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Do đó, ý b) đúng.

c) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\), có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (cmt)

\(\widehat A\) chung (gt)

Do đó,  (c.g.c)

Do đó, ý c) sai.

d) Vì  nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (2 góc tương ứng) (1)

Lại có, \(\widehat {EIB} = \widehat {DIC}\) (hai góc đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\) suy ra \(IE.IC = IB.ID\).

Do đó, ý d) đúng.