Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 8{\rm{\;cm}}.\) Kẻ đường cao \(AH.\)

a) Chứng minh  

b) Tính độ dài các cạnh \(BC\) và \(AH.\)

c) Tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) cắt \(AH\) tại \(E,\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}.\]

d) Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE.\)

1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\).

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\).

Do đó \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3,7} \right)}^2} - {{\left( {1,2} \right)}^2}} = 3,5\,\,(m)\).

Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).

Mà \[2,9 > 2,2\] nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)

Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)