Câu hỏi:

17/03/2025 175

(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AD{\rm{ }}\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\)\(AC\).

a) Chứng minh \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC\)\(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Xét \(\Delta AED\)\(\Delta ADB\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {AED} = \widehat {ADB} = 90^\circ \)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}\), suy ra \(AE.AB = A{D^2}\) (1)

Xét \(\Delta AFD\)\(\Delta ADC\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) suy ra \(AF.AC = A{D^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC.\)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Xét \(\Delta AEF\)\(\Delta ACB\)có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\).

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(FE\) và tia \(CB\). Chứng minh \(I{D^2} = IE.IF\).

Xem lời giải

verified Lời giải của GV VietJack

Vì (cmt) suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\).

\(\widehat {AEF} = \widehat {IEB}\) (2 góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {IEB}\) (3)

Ta có: \(\widehat {IDF} = \widehat {DFC} + \widehat {ACB}\) (góc ngoài tam giác \(DFC\))

Suy ra \(\widehat {IDF} = 90^\circ + \widehat {ACB}\) (4)

\(\widehat {IED} = \widehat {IEB} + \widehat {BED} = \widehat {IEB} + 90^\circ \) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(\widehat {IDF} = \widehat {IED}\).

Xét \(\Delta IED\)\(\Delta IDF\) có:

\(\widehat I\) chung

\(\widehat {IED} = \widehat {IDF}\) (cmt)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IF}}\) nên \(I{D^2} = IE.IF\) (đpcm)

Câu 3:

c) Gọi \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) tia \(HB\) cắt \(EF\) tại \(K.\) Chứng minh \(DK \bot BH.\)

Xem lời giải

verified Lời giải của GV VietJack

\(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên \(BH \bot AC\).

\(DF \bot AC\) nên \(BH\parallel DF\), suy ra \(\widehat {EFD} = \widehat {EKB}\) (hai góc đồng vị) (6)

Theo câu b) ta có nên \(\widehat {IDE} = \widehat {IFD}\) suy ra \(\widehat {BDE} = \widehat {EFD}\) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\widehat {EKB} = \widehat {BDE}\).

Gọi \(L\) là giao điểm của \(BK\)\(ED\).

Xét \(\Delta EKL\)\(\Delta BDL\) có:

\(\widehat {EKL} = \widehat {LDB}\) (cmt)

\(\widehat {ELK} = \widehat {DLB}\) (đối đỉnh)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}\).

Xét \(\Delta EBL\)\(\Delta KDL\) có:  \(\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}\) (cmt) và \(\widehat {ELB} = \widehat {DLK}\) (2 góc đối đỉnh)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\widehat {DKL} = \widehat {BEL} = 90^\circ \) hay \(DK \bot BH\) tại \(K\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số \(y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right).\)

Lời giải

Đáp án: \(0,14\)

Các kết quả có thể xảy ra khi gieo hai con xúc xắc là \(6.6 = 36\).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng số chấm sau hai lần gieo bằng 8” là: \(\left( {2;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {3;5} \right);\)\(\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)\).

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố \(B.\)

Suy ra, xác suất của biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = \frac{5}{{36}} \approx 0,14\).

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP