Câu 27-29. (1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường phân giác \(AD\) và đường trung tuyến \(BE\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH.\)

b) Ta có: \(CF\parallel AD\) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {FCE}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta CEF\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {FEC}\) (đối đỉnh)

\(AE = CE\) (gt)

Do đó, \(\Delta AEH = \Delta CEF\) (g.c.g)

Suy ra \(EH = EF\) (hai cạnh tương ứng)

c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên đường phân giác \(AD\) cũng là đường trung tuyến. Do đó, \(H\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(BH = \frac{2}{3}BE\). Từ đó suy ra \(BH = 2HE = HF.\)

Nên \(H\) là trung điểm của \(BF.\)

\(\Delta BCF\) có hai đường trung tuyến \(FD\) và \(CH\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCF\).

Do đó, \(CG = \frac{2}{3}CH\) suy ra \(HG = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3}BH.\)

Vậy \(HG = \frac{1}{3}.2HE = \frac{2}{3}HE.\)