Cho \[{\rm{A}} \in {{\rm{M}}_{{\rm{3 \times 4}}}}\left[ {\rm{R}} \right]\]. Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào hàng thứ 2, hàng 1 đã được nhân với số 3 và đổi chỗ hàng 2 cho hàng 3. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Giải phương trình: \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ - 1}\\2&0&3&1\\4&{\rm{x}}&1&{ - 1}\\1&0&{ - 1}&2\end{array}} \right| = 0\]

Cho ma trận \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&3&{ - 1}\\3&2&0&1\\1&3&{ - 1}&2\\4&6&3&{\rm{m}}\end{array}} \right]\]. Tính m để A khả nghịch và r(A^-1) = 3.

Tìm ma trận X thỏa mãn \[{\rm{X}}.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\5&6\\{ - 1}&7\end{array}} \right].\]

Tìm định thức của ma trận A, với \[{\rm{A = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rm{1}}&{\rm{1}}&{\rm{1}}\\{\rm{a}}&{\rm{b}}&{\rm{c}}\\{{\rm{b + c}}}&{{\rm{c + a}}}&{{\rm{a + b}}}\end{array}} \right]\]

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \[{\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&2\\4&2&4\\3&2&2\end{array}} \right)\]và \[{\rm{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 2}&4\\1&3&7\\6&4&5\end{array}} \right)\]. Tìm vết của ma trận AB.

Tính định thức của ma trận: \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&4&1&{ - 1}\\4&1&0&3\\2&3&{ - 1}&{ - 4}\\6&4&0&3\end{array}} \right]\]

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \[{\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&2\end{array}} \right)\]. Tìm vết của ma trận A¹⁰⁰.