Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 83 đến 84

Cho hàm số \(y = mx\) \(\left( {m > 0} \right)\) có đồ thị \(\left( d \right)\) và hàm số \(y = \sqrt {5 - x} \) có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\], đường thẳng \(y = 0\) và \(x = 0\) quanh trục \(Ox\) và \(V\prime \) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right)\], đường thẳng \(y = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) quanh trục \(Ox\) (xem hình bên dưới).

Khi \(m = 2\) thì giá trị của \(V'\) bằng

A. \(9\pi \).

B. \(\frac{{28\pi }}{3}\).

C. \(\frac{{25\pi }}{2}\).

D. \(8\pi \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 28) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Khi \(m = 2\), ta có \(\left( d \right):y = 2x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\): \(\sqrt {5 - x} = 2x\)

\( \Rightarrow 4{x^2} + x - 5 = 0\) (Điều kiện \[x \ge 0\])\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{5}{4}\end{array} \right.\).

Thử lại ta thấy \(x = 1\) (nhận).

Khi đó \(V' = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2x} \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_1^5 {{{\sqrt {5 - x} }^2}} dx = \frac{{28\pi }}{3}\). Chọn B.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Nếu \(V = 3V'\) thì giá trị của \(m\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. \(0,08\).

B. \(0,24\).

C. \(0,49\).

D. \(0,007\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có \(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\sqrt {5 - x} }^2}} dx = \frac{{25\pi }}{2}\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(mx = \sqrt {5 - x} \)\( \Rightarrow {m^2}{x^2} = 5 - x\)\( \Leftrightarrow {m^2}{x^2} + x - 5 = 0\).

Gọi \({x_0}\) là nghiệm dương của phương trình trên.

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(0 < {x_0} < 5\)\( \Rightarrow {m^2}x_0^2 + {x_0} - 5 = 0\)\( \Rightarrow {m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}}\).

Khi đó \[V\prime = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{{x_0}} {{{\left( {mx} \right)}^2}} {\rm{d}}x + {\rm{\pi }}\int\limits_{{x_0}}^5 {{{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x\] \[ = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{{x_0}} {{m^2}{x^2}} {\rm{d}}x + {\rm{\pi }}\int\limits_{{x_0}}^5 {\left( {5 - x} \right)\,} {\rm{d}}x\]

\[ = \pi {m^2}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{{x_0}} + \pi \left. {\left( {5x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{{x_0}}^5\]\[ = \left[ {\frac{{{m^2}x_0^3}}{3} + \frac{{25}}{2} - 5{x_0} + \frac{{x_0^2}}{2}} \right]\pi \] \(\left( * \right)\).

Thế \({m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}}\) vào \(\left( * \right)\) ta được: \(V\prime = \pi \left[ {\frac{{{x_0}\left( {5 - {x_0}} \right)}}{3} + \frac{{25}}{2} - 5{x_0} + \frac{{x_0^2}}{2}} \right]\)\( = \pi \left[ {\frac{{x_0^2}}{6} - \frac{{10{x_0}}}{3} + \frac{{25}}{2}} \right]\).

Theo giả thiết ban đầu \(V = 3V\prime \):

\( \Rightarrow \frac{{25\pi }}{2} = 3\pi \left[ {\frac{{x_0^2}}{6} - \frac{{10{x_0}}}{3} + \frac{{25}}{2}} \right]\)\( \Leftrightarrow \frac{{25}}{2} = \frac{{x_0^2}}{2} - 10{x_0} + \frac{{75}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{2} - 10{x_0} + 25 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 10 + 5\sqrt 2 \\{x_0} = 10 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vì \(0 < {x_0} < 5\) nên \({x_0} = 10 - 5\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {m^2} = \frac{{5 - {x_0}}}{{x_0^2}} = \frac{{5 - 10 + 5\sqrt 2 }}{{{{\left( {10 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{10\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{10}}\).

\( \Rightarrow m = \sqrt {\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{10}}} \)\( \approx 0,49\). Chọn C.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là:

A. \(0\)cm.

B. \(8\)cm.

C. \(6\)cm.

D. \(4\)cm.

Lời giải

Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(117 - 71 = 46\) (cm).

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Nhóm	\(\left[ {70;80} \right)\)	\(\left[ {80;90} \right)\)	\(\left[ {90;100} \right)\)	\(\left[ {100;110} \right)\)	\(\left[ {110;120} \right)\)
Tần số	9	20	33	25	15