(0,5 điểm) Cho \(A = {1000^0} + {1000^{1001}} + {1000^{1002}} + {1000^{1003}} + {1000^{1004}}.\) Tìm số dư của phép chia: \(A\) chia cho 1001.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(A = {1000^0} + {1000^{1001}} + {1000^{1002}} + {1000^{1003}} + {1000^{1004}}\)

 \( = 1 + \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1002}}} \right) + \left( {{{1000}^{1003}} + {{1000}^{1004}}} \right)\)

 \( = 1 + {1000^{1001}} \cdot \left( {1 + 1000} \right) + {1000^{1003}} \cdot \left( {1 + 1000} \right)\)

 \( = 1 + {1000^{1001}} \cdot 1001 + {1000^{1003}} \cdot 1001\)

 \[ = 1 + 1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right).\]

Ta thấy rằng \[1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right)\,\, \vdots \,\,1001\] nên \[1 + 1001 \cdot \left( {{{1000}^{1001}} + {{1000}^{1003}}} \right)\] chia 1001 dư 1.

Vậy \(A:1001\) có số dư bằng 1.