Cho tam giác đều có cạnh bằng 2 cm.

          a) Tam giác đều có ba cạnh bằng 2 cm.

          b) Tam giác đều có ba góc ở các đỉnh của tam giác bằng nhau.

          c) Ghép 2 tam giác đều như trên sao cho một cạnh của tam giác này chồng lên một cạnh của tam giác kia thì ta được một hình vuông.

          d) Độ dài đường chéo nhỏ của hình nhận được ở ý c) là 2 cm.

Hướng dẫn giải

Ô thứ nhất bỏ vào 1 hạt.

Ô thứ hai bỏ vào \(2 = {2^1}\) hạt.

Ô thứ ba bỏ vào \(4 = {2^2}\) hạt.

Ô thứ tư bỏ vào \(8 = {2^3}\) hạt và cứ như vậy, ở ô tiếp theo xếp số hạt gạo gấp đôi ô trước đó nên ô thứ 64 bỏ vào \({2^{63}}\) hạt.

Khi đó, tổng số hạt gạo được Minh xếp lên bàn cờ vua là:

\(S = 1 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{63}}\).

⦁ Ta có: \(2S = {2^1} + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{64}}\).

Suy ra \(2S - S = \left( {{2^1} + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{64}}} \right) - \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{63}}} \right)\)

Do đó, \(S = {2^{64}} - 1.\)

Vậy tổng số hạt gạo được Minh xếp lên bàn cờ vua là: \({2^{64}} - 1\) hạt.

⦁ Ta có: \(S = \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7}} \right) + ... + \left( {{2^{60}} + {2^{61}} + {2^{62}} + {2^{63}}} \right)\) (gồm có 16 nhóm)

\[S = \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{60}} \cdot \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3}} \right)\]

\[S = \left( {1 + {2^1} + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {1 + {2^4} + ... + {2^{60}}} \right)\]

\[S = \left( {1 + 2 + 4 + 8} \right) \cdot \left( {1 + {2^4} + ... + {2^{60}}} \right)\]

\[S = 15 \cdot \left( {1 + {2^4} + ... + {2^{60}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,15.\]

Vậy tổng số hạt gạo được Minh xếp lên bàn cờ vua là một số chia hết cho 15.