Câu hỏi:

01/07/2025 11

     1. Xét các phương trình sau:

\({x^2} - \sqrt {5x}  + 1 = 0;\)                             \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0;\) \( - 5{x^2} - 4y + 1 = 0;\)             \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0.\)

     a) Trong các phương trình trên, chỉ ra phương trình bậc hai một ẩn và xác định hệ số \(a,b,c\).

     b) Giải các phương trình tìm được ở phần a).

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

     Người ta trộn \(8\) g chất lỏng I với \(6\) g chất lỏng II có khối lượng riêng nhỏ hơn \(0,2\) g/cm3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là \(0,7\) g/cm3 (quá trình trộn lẫn không xảy ra phản ứng hóa học). Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0;\)

\( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0.\)

     • Với phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) có \(a =  - 1,b =  - \frac{3}{2},c =  - \frac{1}{2}.\)

     • Với phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có \(a =  - 3,b =  - 4\sqrt 6 ,c =  - 4.\)

     b) Giải phương trình:

     • Ta có: \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) hay \( - 2{x^2} - 3x - 1 = 0\) có \(a - b + c =  - 2 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x =  - \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình \( - {x^2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} = 0\) là \(\left\{ { - 1; - \frac{1}{2}} \right\}\).

     • Ta có: \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) hay \( - {\left( {\sqrt 3 x - 2} \right)^2} = 0\) suy ra \(\sqrt 3 x - 2 = 0\) nên \(x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy phương trình \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x - 4 = 0\) có nghiệm là \(\left\{ {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

2. Gọi \(x\) (g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I \(\left( {x > 0,2} \right).\)

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là \(x - 0,2\) (g/cm3).

Thể tích của chất lỏng I là: \(\frac{8}{x}\) (cm3).

Thể tích của chất lỏng II là: \(\frac{6}{{x - 0,2}}\) (cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là: \(8 + 6 = 14\) (g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là: \(\frac{{14}}{{0,7}} = 20\) (cm3).

Ta có phương trình: \(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\).

Giải phương trình:

\(\frac{8}{x} + \frac{6}{{x - 0,2}} = 20\)

\(\frac{{8\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} + \frac{{6x}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}} = \frac{{20x\left( {x - 0,2} \right)}}{{x\left( {x - 0,2} \right)}}\)

\(8\left( {x - 0,2} \right) + 6x = 20x\left( {x - 0,2} \right)\)

\(8x - 1,6 + 6x = 20{x^2} - 4x\)

\(20{x^2} - 18x + 1,6 = 0\)

\(50{x^2} - 45x + 4 = 0\)

Phương trình có \(\Delta  = {\left( { - 45} \right)^2} - 4 \cdot 50 \cdot 4 = 1\,\,225 > 0\) và \(\sqrt \Delta   = 35.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{45 + 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,8\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{45 - 35}}{{2 \cdot 50}} = 0,1\) (không thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8\) g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là \(0,8 - 0,2 = 0,6\) (g/cm3).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

     a) Với \(m = \frac{1}{2}\), ta có: \({x^2} - \left( {2.\frac{1}{2} - 1} \right)x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 7 = 0\) suy ra \({x^2} - \frac{{27}}{4} = 0\) hay \({x^2} = \frac{{27}}{4}\).

Do đó, \(x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm là \(\left\{ {\frac{{3\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 3\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).

     b) Xét phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) có :

     \(\Delta  = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 7} \right) =  - 4m + 29\).

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta  = 0\) hay \( - 4m + 29 = 0\), do đó \(m = \frac{{29}}{4}\).

Vậy phương trình có nghiệm kép khi \(m = \frac{{29}}{4}\).

     c) Xét phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0\) \(\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {{m^2} - 7} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 28 =  - 4m + 29\).

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta  > 0,\) tức là \( - 4m + 29 > 0\) hay \(m < \frac{{29}}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \(4{x_1}^2 - {x_1} - 3x_2^2 + {x_2} = {x_1}{x_2}\)

\(4{x_1}^2 - 4x_2^2 - {x_1} + x_2^2 + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0\)

\[4\left( {{x_1}^2 - x_2^2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {x_2} - {x_1} = 0\]

\(4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 4{x_2} - {x_2} - 1} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 3{x_2} - 1} \right) = 0\)

Xét trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\) suy ra \({x_1} = {x_2}\) (loại do \({x_1} \ne {x_2}).\)

Xét trường hợp 2: \(4{x_1} + 3{x_2} - 1 = 0\) suy ra \({x_1} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 0\) \(\left( {**} \right)\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 2m - 1\) vào \(\left( {**} \right)\) ta có: \({x_1} + 3\left( {2m - 1} \right) - 1 = 0\) hay \({x_1} =  - 6m + 4\).

Thay \({x_1} =  - 6m + 4\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \( - 6m + 4 + {x_2} = 2m - 1\), suy ra \({x_2} = 8m - 5.\)

Thay \({x_1} =  - 6m + 4\) và \({x_2} = 8m - 5\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\left( { - 6m + 4} \right)\left( {8m - 5} \right) = {m^2} - 7\)

\( - 48{m^2} + 30m + 32m - 20 = {m^2} - 7\)

\( - 49{m^2} + 62m - 13 = 0\)

\(m = 1\) (thỏa mãn); \(m = \frac{{13}}{{49}}\) (thỏa mãn).

 Vậy với \(m = \left\{ {1;\,\,\frac{{13}}{{49}}} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

1. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Oy.\] Ta có \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) nên \(AH = \left| 2 \right| = 2\) và \[OH = \left| 3 \right| = 3.\]

     1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right).\) Thực hiện phép quay \(90^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Xác định tọa độ của điểm \(A\) sau khi quay.       2. Người ta muốn dựng khung cổng hình chữ nhật rộng \(4{\rm{\;m}}\) và cao \(3{\rm{\;m}}{\rm{,}}\) bên ngoài được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn.  Tính chiều dài (đơn vị mét) của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó. (ảnh 2)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} .\)

Ta cũng có \(\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.\)

Giả sử phép quay \(90^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm \(A\) (ở góc phần tư thứ I) thành điểm \(B\).

Khi đó, điểm \(B\) nằm ở góc phần tư thứ II và \(OB = OA = \sqrt {13} ,\,\,\widehat {AOB} = 90^\circ .\)

Ta có \(\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = 90^\circ \) nên \(\cos \widehat {BOH} = \sin \widehat {AOH} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.\)

Xét \(\Delta OBK\) vuông tại \(K\) (gọi \(K\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(Oy)\) ta có:

\(OK = OB \cdot \cos \widehat {BOH} = \sqrt {13}  \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} = 2.\)

Từ đó, ta có tung độ của điểm \(B\) là \(2\) (do \(B\) nằm ở góc phần tư thứ II).

Tương tự, ta tìm được hoành độ của điểm \(B\) là \( - 3.\)

Như vậy, phép quay ngược chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) thành điểm \[B\left( {--3;{\rm{ }}2} \right).\]

2. Giả sử \[ABCD\] là khung cổng hình chữ nhật \[(AB = CD = 3{\rm{\;m}}\] và \[AD = BC = 4{\rm{\;m}})\] nội tiếp nửa đường tròn \[\left( O \right)\] (hình vẽ).

     1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {2;\,\,3} \right).\) Thực hiện phép quay \(90^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Xác định tọa độ của điểm \(A\) sau khi quay.       2. Người ta muốn dựng khung cổng hình chữ nhật rộng \(4{\rm{\;m}}\) và cao \(3{\rm{\;m}}{\rm{,}}\) bên ngoài được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn.  Tính chiều dài (đơn vị mét) của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó. (ảnh 3)

Gọi \[H\] là trung điểm của \[CD.\]

Khi đó \(HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;(m)}}\) và \[H\] nằm trên đường trung trực của \[BC.\]

Vì \[B,{\rm{ }}C\] cùng nằm trên nửa đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[OB = OC,\] suy ra \[O\] nằm trên đường trung trực của \[BC.\]

Do đó \[OH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BC,\] nên \[OH \bot BC.\]

Mà \[BC\,{\rm{//}}\,AD\] (do \[ABCD\] là hình chữ nhật) nên \[OH \bot AD.\]

Xét tứ giác \[ABHO\] có \(\widehat {OAB} = \widehat {AOH} = \widehat {OHB} = 90^\circ \) nên \[ABHO\] là hình chữ nhật.

Do đó \[OH = AB = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore, ta có: \(O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {2^2} = 13.\)

Do đó \(OB = \sqrt {13} {\rm{\;m}}.\)

Nửa chu vi đường tròn \[\left( O \right)\] là: \[\pi \sqrt {13} {\rm{\;\;(m)}}{\rm{.}}\]