Silicon (Si, Z = 14) được dùng trong công nghệ sản xuất chip máy tính hiện đại. Aluminium (Al, Z = 13) được dùng để làm vỏ phủ vệ tinh nhân tạo hay khí cầu nhằm tăng nhiệt độ nhờ có tính hấp thụ bức xạ điện từ Mặt Trời khá tốt. Phosphorus (P, Z = 15) là một khoáng chất thiết yếu đối với sự phát triển của xương và răng.

a. Si, Al và P đều thuộc nhóm VA trong bảng tuần hoàn

1. Tập xác định: D = \[\mathbb{R}\] \ {1}.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm \[y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 2.

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]

Ta có: \[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\] và \[b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = 3\]. Suy ra đường thẳng y = x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \]. Suy ra đường thẳng  x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x² + 2x – 2 = 0 ⇔ \[x = - 1 + \sqrt 3 \]hoặc \[x = - 1 - \sqrt 3 \].

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (\[ - 1 + \sqrt 3 \];0) và điểm (\[ - 1 - \sqrt 3 \];0).

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình vẽ.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 4).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 3.