Tứ giác \(ABDC\) trong hình dưới đây có \(AB = AC,\;DB = CD\) được gọi là hình “cái diều”. Biết rằng \(\widehat {BAC} = 90^\circ ;\;\widehat {BDC} = 30^\circ .\) Khi đó:

          a) Tứ giác \(ABDC\) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

          b) \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 200^\circ .\)

          c) \(\Delta DCA = \Delta DBA.\)

          d) \(\widehat {ABD} = 100^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Vì \(DB = CD\) nên \(D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

Do đó, hai điểm \(A,\;D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Hay \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Do đó, \(AD \bot BC.\) Suy ra, tứ giác \(ABDC\) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Sai.

Tứ giác \(ABDC\) có: \[\widehat {CAB} + \widehat {DBA} + \widehat {ACD} + \widehat {CDB} = 360^\circ \]

Do đó: \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 360^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BDC} = 360^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 240^\circ .\) Vậy \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ .\)

c) Đúng.

\(\Delta DCA\) và \(\Delta DBA\) có: \(AC = AB,\;DC = DB,\;AD\) chung. Do đó, \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {c - c - c} \right).\)

d) Sai.

Vì \(\Delta DCA = \Delta DBA\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}.\)

Mà \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = 240^\circ \) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ABD} = 240^\circ \) hay \(2\widehat {ABD} = 240^\circ .\) Suy ra \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ABD} = 120^\circ .\)