Một ông nông dân có \(240\)m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông. Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \).

b)  Vì \(\left[ { - 1;0} \right] \subset D\) và hàm số liên tục trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.

c) \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\ln 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = {\log _2}6;f\left( 0 \right) = 1 < {\log _2}6\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 1\).

d)  TXĐ \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) chứa \(\left[ {3;4} \right]\).

\(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m = {2^{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m\).

Có \(g'\left( x \right) = 2x - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \notin \left[ {3;4} \right]\).

Mà hàm số đồng biến trên \(\left[ {3;4} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = 2 + m\).

Theo đề ta có \(2 + m = - 3 \Leftrightarrow m = - 5\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Từ đồ thị ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow M + m = - 2\]. Chọn D.