Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 12 m khi thủy triểu lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 8 m. Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (\(0 \le t \le 24\)) được cho bởi công thức \(h = m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với m; a là các số thực dương cho trước. Giá trị của \(T = m \cdot a\) là bao nhiêu?

a) \(g\left( x \right) = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)\)\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

b) \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)\( \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0\). Suy ra \(g\left( x \right) < 0\).

c) Có \(g\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.

Do đó phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

d) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

\(\sin x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.