Cho biểu thức: \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) với \(x \ne  - 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\);                       b) Tính giá trị biểu thức \(P\) tại \(x = 1\).  

a) Với \(x \ne  - 1\), ta có:

\(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).

b) Với \(x = 1\) (TMĐK), thay vào biểu thức \(P\), ta được:

\(\frac{{1 + 1}}{{{1^2} + 1}} = \frac{2}{2} = 1\).

Vậy tại \(x = 1\) thì giá trị của biểu thức \(P\) bằng 1.