Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ bên

Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\)?

Do \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Mà \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(IO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\).

Suy ra \(IO//SA\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = IO\).

Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AM \bot BC\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAM} \right) \bot BC\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SM\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right)\).

Suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc \(\widehat {SMA}\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\), ta có \(AM = AB.\sin \widehat {ABM} = a\sqrt 2 .\sin 45^\circ  = a\).

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A,\)\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).