Bạn Minh sử dụng \(12\) thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là \(20{\rm{cm}}\), \(30{\rm{cm}}\), \(60{\rm{cm}}\). Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sân, Minh để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sân. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sân phẳng. Giá trị lớn nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật (đơn vị cm) có dạng \(a + b\sqrt {13} \)\(\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tính \(a + b\).

Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn \(1\) m so với vị trí trí điểm đặt vật cần dịch chuyển đến, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc \(\alpha  \in ({0^^\circ };{180^^\circ })\) sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng \((P)\) chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng \((P)\) so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống \(1\) m theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), thân tháp là trục \(Oz\) và mặt đất là mặt phẳng \(Oxy\) (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm \(A(6\,;8\,;0)\) và vị trí cần đặt vật liệu là điểm \(B(4\,; - 3\,;15)\). Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm \[T\] được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm \[T\] là \[x\](\[\$ \]) thì số sản phẩm \[T\] các nhà máy sản xuất sẽ là \[R(x) = x - 200\] và số sản phẩm \[T\]mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là \[Q(x) = 4200 - x\]. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là \[{x_0} = 3200\]\[\$ \]. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là \[a\](\[\$ \]) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là \[4:1\]. Hãy xác định giá trị của \[a\] biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Nhà thầy Minh cách bờ biển Bãi Cháy \[1{\rm{km}}.\] Mỗi buổi sáng thầy Minh chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển \[500{\rm{m}}{\rm{,}}\] rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển Bãi Cháy \[400{\rm{m}}\] và cách nhà thầy Minh \[1{\rm{km}}\] (tham khảo hình vẽ). Tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Minh đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị m và làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho khối chóp S.ABC có \(AB = 4a;\;BC = 3a\sqrt 2 ;\;\widehat {ABC} = 45^\circ \) và \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = 90^\circ \). Biết góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SB,C} \right]\) là a với \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\). Biết rằng, thể tích của khối chóp S.ABC. có dạng \(\frac{{x\sqrt y }}{z}{a^3}\), trong đó y là số nguyên tố và \(\frac{x}{z}\) là phân số tối giản, \(x,y \in N*\). Tính \(x + y + z\).

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{x + n}}\) có đồ thị và hai đường tiệm cận \({d_1},{d_2}\) như hình vẽ dưới đây.