Một hộp chứa các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau gồm 5 bi trắng, 6 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp; trong đó có \(x\) viên bi trắng, \(y\) viên bi đỏ và \(z\) viên bi xanh. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ 18 viên là \(n\left( \Omega  \right) = C_{18}^6 = 18564\)

a) Xét khẳng định a)

Theo đề: 6 viên bi đủ ba màu nên ta có điều kiện sau \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 5\\1 \le y \le 6\\1 \le z \le 7\\x + y + x = 6\end{array} \right.\)

Ba số \(x - y,y - z,z - x\) lập thành cấp số cộng nên

\(y - z = \frac{{\left( {x - y} \right) + \left( {z - x} \right)}}{2} \Leftrightarrow \)\(2\left( {y - z} \right) =  - y + z \Leftrightarrow \)\(3y = 3z \Rightarrow y = z\)

Kết hợp hai điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 6\\y = z\\1 \le x \le 5\\1 \le y \le 6\\1 \le z \le 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 6\\1 \le x \le 5\\1 \le y \le 6\\1 \le z \le 7\end{array} \right.\]

Ta xét các cặp \(\left( {x,y} \right)\) nguyên dương:

Nếu \(y = 1 \Rightarrow x = 6 - 2.1 = 4\). Cặp \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,1,1} \right)\).

Nếu \(y = 2 \Rightarrow x = 6 - 2.2 = 2\). Cặp \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,2,2} \right)\).

Nếu \(y = 3 \Rightarrow x = 6 - 2.3 = 0\). (Loại do \(x \ge 1\))

Các trường hợp thỏa mãn:

1. \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,1,1} \right)\): 4 trắng, 1 đỏ, 1 xanh.

Số cách chọn: \(C_5^4 \cdot C_6^1 \cdot C_7^1 = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210\)

2. \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,2,2} \right)\): 2 trắng, 2 đỏ, 2 xanh.

Số cách chọn: \(C_5^2 \cdot C_6^2 \cdot C_7^2 = 10 \cdot 15 \cdot 21 = 3150\)

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(n\left( A \right) = 210 + 3150 = 3360\)

Xác suất biến cố \(A\) là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{3360}}{{18564}} = \frac{{40}}{{221}}\]

Vậy Khẳng định a) ĐÚNG.

b) Xét khẳng định b)

Biến cố B: Chọn được ít nhất một viên bi màu xanh.

Biến cố đối \(\bar B\): Không chọn được viên bi màu xanh nào (6 viên đều là trắng hoặc đỏ).

Tổng số bi trắng và đỏ: \(5 + 6 = 11\) viên.

\(n\left( {\overline B } \right) = C_{11}^6 = 462\)

Xác suất \(P\left( {\bar B} \right)\) là  \(P\left( {\bar B} \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{462}}{{18564}}\)

Xác suất \(P\left( B \right)\) là \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\bar B} \right) = 1 - \frac{{462}}{{18564}} \approx 0,97512\)

Ta thấy \(P\left( B \right) \approx 0,97512 > 0,95\).

Vậy khẳng định b) SAI.

c) Xét khẳng định c)

Biến cố C: Chọn được 6 viên bi toàn màu xanh.

\(n\left( C \right) = C_7^6 = 7\)

Xác suất \(P\left( C \right)\):\(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{7}{{18564}} = \frac{1}{{2652}}\)

Vậy khẳng định c) ĐÚNG.

d) Xét khẳng định d)

Biến cố D: Chọn được ít nhất 5 viên bi màu xanh.

Biến cố này gồm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 5 viên xanh và 1 viên (trắng hoặc đỏ) (từ \(5 + 6 = 11\) viên).

\(C_7^5 \cdot C_{11}^1 = 21 \cdot 11 = 231\) cách

Trường hợp 2: 6 viên xanh và 0 viên (trắng hoặc đỏ).

\(C_7^6 \cdot C_{11}^0 = 7 \cdot 1 = 7\) cách

Số kết quả thuận lợi cho biến cố D là \(231 + 7 = 238\)

Xác suất \(P\left( D \right)\) là \(P\left( D \right) = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{238}}{{18564}} = \frac{1}{{78}}\)

Vậy khẳng định d) ĐÚNG.