Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít nhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn 1 viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M. Xác định giá trị nhỏ nhất của M (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án  _______

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{20}}\) là số viên kẹo của loại kẹo thứ 1, 2, …, 20 với \({x_i} \ge 2\).

Số cặp học sinh có cùng loại kẹo \({x_i}\) là \(C_{{x_i}}^2 = \frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}\).

Tổng các số M được viết lên bảng là: \(M = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}} \) trong đó \(\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i} = 2020} \).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(M = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}} = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{x_i^2}}{2}} - \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}}}{2}} \)\( \ge \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}} } \right)}^2}}}{{2 \cdot 20}} - \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}}}{2}} = \frac{{{{2020}^2}}}{{2 \cdot 20}} - \frac{{2020}}{2} = 101000\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x_i} = 101,\forall i = 1;2;...;20\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 101000.

Đáp án cần nhập là: 101000.