Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\), \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SA\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {NCD} \right)\) theo \(a\) bằng:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới.

Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\) thiết diện. Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\).

Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\) Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)}  = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]

\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}  \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\].

Khi đó, \[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi  - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]

Thể tích khoảng không cần tìm là: \(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)dx \approx 115\,\,586\,\,\left( {{m^3}} \right).} \) Chọn B.

Gọi \(O,\,\)\(O'\) lần lượt là tâm của hai mặt đáy. Khi đó tứ giác \(COO'C'\)là hình bình hành và \(C'O' = \frac{{AC}}{2} = a\).

Do \(BD\;{\rm{//}}\;B'D'\)\[ \Rightarrow BD\;{\rm{//}}\;\left( {CB'D'} \right)\] nên ta có:

\(d\left( {BD,CD'} \right) = d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {CB'D'} \right)} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'D' \bot A'C'\\B'D' \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'D' \bot \left( {COO'C'} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {CB'D'} \right) \bot \left( {COO'C'} \right)\).