Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2\) đồng biến trên \(\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\) là

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2\)

\(g'\left( x \right) = \left( {2{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x + 3{\rm{cos}}x} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) = {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right)\)

\(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\).

Theo giả thiết: \(f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le - 3}\end{array}} \right.\), ta có:

\[f'\left( {{{\sin }^2}x + 3\sin x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + 3\sin x - m \ge 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\\{\sin ^2}x + 3\sin x - m \le - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \ge m + 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \le m - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\end{array}} \right.\) (1)

Xét hàm số \(u\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x\) trên \(\left[ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\), ta có

, do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 \ge \frac{{3 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m + 1 \le \frac{7}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{{15 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m \le \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z}\) và thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) ta được \(m \in \left\{ { - 10, - 9, \ldots ,0,7, \ldots ,10} \right\}\).

Vậy có 15 số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.