Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x + n}}\). Xác định \(n\) để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng \(x = {x_1},x = {x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} - {x_2} = 5\).

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi nghiệm tử số và mẫu số không trùng nhau

Lời giải

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + n = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2 + n \ne 0}\\{1 - n > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \ne - 3}\\{n < 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình \({x^2} + 2x + n = 0\) có hai nghiệm \(x = {x_1},x = {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}.{x_2} = n}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} - {x_2} = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 5}\\{{x_1} + {x_2} = - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{3}{2}}\\{{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = n \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{{\left( { - 7} \right)}}{2} = \frac{{ - 21}}{4}\)