Có bao nhiêu các giá trị nguyên \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}:3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - 5{\rm{sin}}3x - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 15{\rm{sin}}x + 36 + 24m \ge 0\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Xét bất phương trình \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - 5{\rm{sin}}3x - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 15{\rm{sin}}x + 36 + 24m \ge 0\)

\[3{\sin ^3}x - 5\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) - 36\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[3{\sin ^3}x - 15\sin x + 20{\sin ^3}x - 36 + 36{\sin ^2}x - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 23{\sin ^3}x + 36{\sin ^2}x - 30\sin x + 24m \ge 0\]

Đặt \(t = {\rm{sin}}x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Bất phương trình trở thành: \(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\)

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì bất phương trình

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0 \Leftrightarrow 23{t^3} + 36{t^2} - 30t \ge - 24m \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{{36}}{{24}}{t^2} + \frac{{30}}{{24}}t \le m\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + \frac{5}{4}t\),

\(f'\left( t \right) = - \frac{{23}}{8}{t^2} - 3t + \frac{5}{4},f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {374} - 12}}{{23}}}\\{t = \frac{{ - \sqrt {374} - 12}}{{23}} \notin \left[ { - 1;1} \right]}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)