Gọi (S) là tập hợp các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (-10;10) để đồ thị hàm số:$\left(C\right): y = x^3-(m+2)x^2 +3mx-6$ và parabol $\left(P\right): y = 2x^2-7x +2m$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt: A, B, C thỏa mãn: ${x_1}^3 +{x_2}^3+{x_3}^3 \le 43$. Tính tổng các phần tử của (S) (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "-45"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, nhẩm nghiệm và ứng dụng hệ thức Viet để giải

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[{x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 =  - 2{x^2} - 7x + 2m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 + 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 2{x^2} + 3mx - 6 - 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} + 3mx + 7x - 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4{x^2} + 7x - 6} \right) + m\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - m(x - 1)(x - 2) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3 - m(x - 1)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \) phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2\left( {2 + m} \right) + 3 + m \ne 0}\\{{{(2 - m)}^2} - 4\left( {3 + m} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 4 - 2\sqrt 6 }\\{m > 4 + 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Khi đó phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 + m}\\{{x_1}.{x_2} = 3 + m}\end{array}} \right.\)

Theo bài ta có: \({x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 \le 43 \Leftrightarrow {x_1}^3 + {x_2}^3 + 8 \le 43\)

\[ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}.{x_2} + x_2^2} \right) \le 35 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}.{x_2}} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow (2 + m)\left[ {{{(2 + m)}^2} - 3.(3 + m)} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} - 3m - 45 \le 0\]

\[ \Rightarrow m \le 3\]

Kết hợp các điều kiện ta có \(m \in \left( { - 10;4 - 2\sqrt 6 } \right)\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: -45