Gọi x1, x2 là hai nghiệm thực của phương trình ${\log }_3^{\frac{x-2}{x^2-4x+5}} - x^2+7x-10 = 0$. Tính $T= \left|x1 - x2\right|$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng cách sử dụng MTCT nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu chứng minh hàm luôn đơn điệu trên khoảng xác định hoặc đánh giá hai vế hoặc đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc một phương pháp nào đó.

Lời giải

Phương trình đã cho xác định với mọi \(x > 2\).

Ta cô lập hai hàm số loga về hai vế và biến đổi hai vế về hai biểu thức như hai biểu thức dưới dấu loga, ta được phương trình:

\[{\log _3}\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4x + 5}}} \right) - {x^2} + 7x - 10 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 2) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) + {x^2} - 7x + 10\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}(3x - 6) + (3x - 6) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f(3x - 6) = f\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\]

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

+ Có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t{\rm{ln}}3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

+ Vậy hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy phương trình đã cho: \( \Leftrightarrow f\left( {3x - 6} \right) = f\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \Leftrightarrow 3x - 6 = {x^2} - 4x + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{7 - \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{7 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\). (TMĐK)

Vậy: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 7\).