Gọi S là tập hợp các nghiệm thực của phương trình $2^{x^2-3x+2} - 2^{x^2 -x-2} = 2x-4$. Số phần tử của S là? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng: \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) và chứng minh \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) ta áp dụng tính chất trên để đưa phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn có thể giải được

Lời giải

Phương trình đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Ta cô lập hai hàm số mũ về hai vế và biến đổi hai vế với phép toán với số mũ hai vế (vì hệ của số mũ của \({x^2}\) trong hai hàm số mũ bằng nhau), ta được phương trình:

\({2^{{x^2} - 3x + 2}} - {2^{{x^2} - x - 2}} = 2x - 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} + \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {2^{{x^2} - x - 2}} + \left( {{x^2} - x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = f\left( {{x^2} - x - 2} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\)

+ Có: \(f'\left( t \right) = {2^t}{\rm{ln}}2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\)

+ Vậy hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vậy phương trình đã cho:

\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = f\left( {{x^2} - x - 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm