Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình vuông cạnh \(20{\rm{cm}}\) và chiều cao \(80{\rm{cm}}\). Mặt \(A'B'C'D'\) là mặt dưới, còn \(ABCD\) là mặt trên.
Một con kiến xuất phát từ điểm \(A'\) và bò trên bề mặt xung quanh của tòa nhà để đến đích là điểm \(A\) (như hình minh họa). Đường đi của con kiến là một đường gấp khúc liên tục, nằm hoàn toàn trên bốn mặt bên (không đi trên mặt trên và mặt dưới), không trùng với các cạnh của hình hộp và lần lượt cắt các cạnh theo đúng thứ tự: \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Biết rằng con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\). Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con kiến đi (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo là cm).
Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình vuông cạnh \(20{\rm{cm}}\) và chiều cao \(80{\rm{cm}}\). Mặt \(A'B'C'D'\) là mặt dưới, còn \(ABCD\) là mặt trên.
Một con kiến xuất phát từ điểm \(A'\) và bò trên bề mặt xung quanh của tòa nhà để đến đích là điểm \(A\) (như hình minh họa). Đường đi của con kiến là một đường gấp khúc liên tục, nằm hoàn toàn trên bốn mặt bên (không đi trên mặt trên và mặt dưới), không trùng với các cạnh của hình hộp và lần lượt cắt các cạnh theo đúng thứ tự: \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Biết rằng con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\). Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con kiến đi (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo là cm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Đáp án: \(157\)
Gọi các điểm chạm của con kiến trên các cạnh \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) lần lượt là \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), \(I\). Áp dụng phương pháp trải hình như hình bên dưới.
Vì con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}B'E \ge 16\\CF \le 16\end{array} \right.\).
Khi đó, đặt \(CF = x\) thì \(x \le 16\) và \(B'E = \frac{{80 - x}}{2} \ge 32\) (thỏa mãn).
Độ dài đường đi của con kiến: \(f\left( x \right) = A'F + FA = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - x} \right)}^2}} + \sqrt {{{80}^2} + {x^2}} \), \(x \le 16\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \frac{{x - 80}}{{\sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - x} \right)}^2}} }} + \frac{x}{{\sqrt {{{80}^2} + {x^2}} }} = \frac{{\left( {x - 80} \right)\sqrt {{x^2} + 6400} + x\sqrt {{x^2} - 160x + 8000} }}{{\sqrt {\left( {{x^2} - 160x + 8000} \right)\left( {{x^2} + 6400} \right)} }}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} - 160x + 8000} = \left( {80 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 6400} \)
\( \Rightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 160x + 8000} \right) = {\left( {80 - x} \right)^2}\left( {{x^2} + 6400} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4800{x^2} - 1024000x + 40960000 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 160 > 16\\x = \frac{{160}}{3} > 16\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Vậy độ dài đường đi ngắn nhất của con kiến là
\({f_{\min }} = f\left( {16} \right) = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {80 - 16} \right)}^2}} + \sqrt {{{80}^2} + {{16}^2}} \approx 157{\rm{cm}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Gọi \(\alpha \) là số đo góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,CD,A} \right]\], khi đó \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\).
Đúng
Sai
b) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(8{a^3}\).
Đúng
Sai
c) Góc tạo bởi đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(\widehat {BSH}\).
Đúng
Sai
d) Gọi \(M,N,P\)lần lượt là trung điểm của ba cạnh \(CD\), \(BC\)và \(SA\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(PN\) và \(SM\)bằng \(\frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Đúng
Sai
Lời giải
Lời giải
a) [VD]
BAD = 120o (gt) CAD = 60o
\(\Delta ACD\) có CAD = 60o, AD = CD
\( \Rightarrow \Delta ACD\) đều
có \(M\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow \)\[AM\] là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao của \(\Delta ACD\)
\( \Rightarrow AM \bot CD\)
\( \Rightarrow AM = \frac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 \).
Kẻ \(HI{\rm{ // }}AM\), \(I \in MC\).
\(\Delta ACM\) có \(HI{\rm{ // }}AM\) theo định lý Thale`s ta có:
\( \Rightarrow HI = \frac{{CH \cdot AM}}{{CA}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{HI{\rm{ // }}AM}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot CD\quad (1)\)
\(SH \bot (ABCD)\left( {gt} \right) \Rightarrow SH \bot CD\quad (2)\)
Từ \((1),{\rm{ }}(2) \Rightarrow CD \bot (SHI)\)\( \Rightarrow \widehat {SIH} = \alpha \).
\(\Delta SHI{\rm{ }}\): \(\widehat {SHI} = {90^0}\)\( \Rightarrow \)\(\tan \alpha = \tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = \frac{2}{3}\).
Chọn: Đúng.
b) [TH] theo câu a) ta có \(\Delta ACD\) đều, \(CD = 4a\), \(AM = 2a\sqrt 3 \)
\({S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}CD \cdot AM\)\( = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 2a\sqrt 3 = 4{a^2}\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ACD}} = 8{a^2}\sqrt 3 \)
Vậy: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot 8{a^2}\sqrt 3 = 8{a^3}\).
Chọn: Đúng.
c) [TH]
\(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot OB\quad (3)\)
\(OB \bot AC\quad (4)\)
Từ (3), (4) \( \Rightarrow OB \bot (SAC)\) \( \Rightarrow OB \bot SO\)
\( \Rightarrow \widehat {BSO}\) là góc giữa \(SB\) và \((SAC)\).
Chọn: Sai.
d) [VD,VDC]
Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ:
\(Oz \bot (ABCD)\) tại \(O\), \(Ox \equiv OB\), \(Oy \equiv OC\)
Ta có: \(O(0,0,0)\); \(A(0, - 2a,0)\)
\(B(2a\sqrt 3 ;0,0)\), \(C(0,2a,0)\), \(D( - 2a\sqrt 3 ,0,0)\)
\(M\) là trung điểm của \(DC \Rightarrow M( - a\sqrt 3 ,a,0)\)
\(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow N(a\sqrt 3 ,a,0)\)
\(H(0, - a,0)\), \(S(0, - a,a\sqrt 3 )\)
P là trung điểm của SA \( \Rightarrow P(0, - \frac{3}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2})\)
\(\overrightarrow {NP} = \left( { - a\sqrt 3 , - \frac{5}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
\(\overrightarrow {MS} = (a\sqrt 3 , - 2a,a\sqrt 3 )\)
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2a\sqrt 3 ,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {NP} ,\overrightarrow {MS} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{5}{2}a}&{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{ - 2a}&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{ - a\sqrt 3 }\\{a\sqrt 3 }&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a\sqrt 3 }&{ - \frac{5}{2}a}\\{a\sqrt 3 }&{ - 2a}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( { - \frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 ,\frac{9}{2}{a^2},\frac{9}{2}\sqrt 3 {a^2}} \right)\)
\({d_{\left( {NP,MS} \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}{a^3}}}{{\frac{{3\sqrt {39} }}{2}{a^2}}} = \frac{3}{{\sqrt {39} }}a\).
Chọn SAI.
Câu 2
a) [TH] Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {a;b} \right)\). Khi đó, ta có \({a^2} + b = 12\).
Đúng
Sai
b) [TH] Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x - 2\).
Đúng
Sai
c) [TH] Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 2\) cắt hai đường tiệm cận tại \(A,\,B\). Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(12.\)
Đúng
Sai
d) [VD] Có tất cả \(9\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} = m\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 2 < {x_2} < 15\).
Đúng
Sai
Lời giải
Lời giải
a) Đúng.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) ; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên sau
|
\(x\) |
\( - \infty \) \( - 1\) \(1\) \(3\) \( + \infty \) |
|
\(y'\) |
\( + \) \(0\) \( - \) \( - \) \(0\) \( + \) |
|
\(y\)
|
\( - 5\) |
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: \(\left( {3;3} \right)\)\( \Rightarrow {a^2} + b = {3^2} + 3 = 12\).
b) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
c) Sai.
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: \(x = 1\)
Ta có tọa độ giao điểm của 2 đường tiệm cận của đồ thị là \(I(1; - 1)\).
+) Điểm thuộc đồ thị có hoành độ \(x = 2\) là \(M(2;4)\). Tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình là \(y - 4 = f'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = - 3x + 2\) (d)
Gọi điểm \(A\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên \(A\left( {1; - 1} \right)\)
Gọi điểm \(B\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\y = - 3x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) \(B\left( {1; - 1} \right)\)
Vậy \(A \equiv B \equiv I\), không tồn tại tam giác.
d) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta có \(4 < m < f(5) \approx 13,28\)
Do tham số \(m\)là số nguyên, nên \(m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\}\), có 9 giá trị.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) [NB] Tại thời điểm nửa đêm t = 0, mực nước tại cảng là 15 mét.
Đúng
Sai
b) [TH] Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm t là \(h'(t) = - \frac{{2\pi }}{3}\sin (\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3})\).
Đúng
Sai
c) [TH] Trong một ngày (với \(0 \le t \le 24\)), mực nước thấp nhất là 6 mét và mức nước này xuất hiện tại hai thời điểm khác nhau.
Đúng
Sai
d) [VD,VDC] Phương trình \(h'(t) = 0\)có một nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\) là t = 4.
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập