Hai vận động viên \(A\) và \(B\) tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là\({v_A}\left( t \right) = \frac{1}{{450}}{t^3} - \frac{{47}}{{450}}{t^2} + \frac{{64}}{{45}}t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), \({v_B}\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) với \(t \ge 0\) là là thời gian tính bằng giây. Hàm số \(y = {v_B}\left( t \right)\) có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ sau:

Vận tốc chạy lớn nhất của vận động viên \(A\) trong khoảng 20 giây theo đơn vị m/s tính từ khi bắt đầu xuất phát là

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân để tính độ dài quãng đường.

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = a{t^2} + bt + c\) đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {5;2} \right),\left( {15;4} \right)\) nên \(y = - \frac{1}{{75}}{t^2} + \frac{7}{{15}}t\).

Ta có:

Vậy khoảng cách giữa hai vận động viên là \(150 - 90 = 60\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân để tính độ dài quãng đường.

Lời giải

Do \({v_A}\left( t \right) > 0\forall t > 0\), ta thấy vận động viên \(B\) về đích với vận tốc bằng 0.

Khi đó \( - \frac{1}{{75}}{t^2} + \frac{7}{{15}}t = 0 \Rightarrow t = 35(t > 0)\).

Độ dài đường chạy là \(S = \int\limits_0^{35} {{v_B}\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{35} {\left( { - \frac{1}{{75}}{t^2} + \frac{7}{{15}}t} \right)dt} = \frac{{1715}}{{18}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Đặt \(t = a\) là thời điểm vận động viên \(A\) hoàn thành đường chạy.

Khi đó

\( \Rightarrow \frac{{{a^4}}}{{1800}} - \frac{{47{a^3}}}{{1350}} + \frac{{32{a^2}}}{{45}} = \frac{{1715}}{{18}}\).

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có \(a \approx 20,1\).

Như vậy chênh lệch thời gian hoàn thành đường chạy là \(35 - 20,1 = 14,9\) giây.