Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \({d_1}:5x - 12y + 11 = 0;{d_2}:x + 2y - 3 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 12y + 11 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{{11}}\\y = \frac{{13}}{{11}}\end{array} \right.\).

Do đó \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.

b) Ta có \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\).

Do đó \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}\).

c) Đường thẳng song song với \({d_2}\) có dạng \(x + 2y + d = 0\left( {d \ne  - 3} \right)\).

Vì đường thẳng \(x + 2y + d = 0\) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2.1 + d = 0 \Leftrightarrow d =  - 4\) (thỏa mãn).

Vậy đường thẳng cần tìm là \(x + 2y - 4 = 0\).

d) Vì \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\). Ta có \(IM = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}  = 1\)

\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 2 = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(b \ge 1\) nên \(M\left( {1;1} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).