Tìm m để

(a) Phương trình x^2-2x+m=0 có hai nghiệm phân biệt dương.

(b) Phương trình x^2+2x+m=0 có hai nghiệm $x{}_1,x{}_2$ thỏa mãn 3x_1+2x_2=1.

a) Xét phương trình x^2-2x+m=0.

Ta có a=1;b=1;c=m.

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x{}_1,x{}_2$ khi và chỉ khi

{\Delta }^{\prime }\ge 0 hay 1-m\ge 0 nên m\le 1.

Theo hệ thức Viète, ta có x_1+x_2=-2 và x_1{x}_2=m.

Xét hệ phương trình: \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ 3x_1+2x_2=1\end{array}.

Từ phương trình thứ nhất, ta có x_2=-2-x_1 thay vào phương trình thứ hai ta được

3x_1+2\left(-2-x_1\right)=1 hay 3x_1-4-2x_1=1 nên x_1=5 suy ra x_2=-7.

Thay x_1=5 và x_2=-7 vào phương trình x_1{x}_2=m, ta có:

m=5.\left(-7\right)=-35 (thỏa điều kiện m\le 1).

Vậy m=-35 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Xét phương trình x^2-2x+m=0.

Ta có a=1;b^{\prime }=-1;c=m;{\Delta }^{\prime }=1-m.

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P=\frac{c}{a}>0\\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array} hay \{\begin{array}{l}1-m>0\\ m>0\\ 2>0\end{array}, do đó 0<m<1.

Vậy để phương trình x^2-2x+m=0 có hai nghiệm phân biệt dương thì 0<m<1.