Cho hình bình hành \(ABCD\), điểm \(F\) trên cạnh \(BC\). Tia \(AF\) cắt \(BD\) và \(DC\) lần lượt ở \(E\) và \(G\). Chứng minh rằng:

a)

b) \(A{E^2} = EF.EG\).

c) \(BF.DG\) không đổi khi \(F\) thay đổi trên \(BC.\)

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các số \(1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,6\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Tính xác suất để số được chọn chia hết cho \(3.\)

Một cửa hàng ngày chủ nhật tăng giá tất cả các mặt hàng thêm \[20\% \]. Sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật. Một người mua hàng tại cửa hàng đó trong ngày thứ hai phải trả tất cả là \[24\,\,000\] đồng. Người đó vẫn mua các sản phẩm như vậy nhưng vào thời điểm trước ngày chủ nhật thì phải trả bao nhiêu tiền?

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\]

a) Chứng minh

b) Chứng minh

c) Chứng minh: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn, các đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại điểm \[H.\]

a) Chứng minh rằng:

b) Cho \[AB = 4\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AC = 5\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AD = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Tính độ dài đoạn thẳng \[AE\];

c) Chứng minh rằng: \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)

Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Biết \(BC = 30{\rm{ cm, }}AM = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Chứng minh

a) \(DE\parallel BC\).                    b) \(DI = EI.\)                                 c) \(ED = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Một công ty viễn thông A cung cấp dịch vụ truyền hình cáp với mức phí ban đầu là 300 000 đồng và mỗi tháng phải đóng 150 000 đồng. Công ty viễn thông B cũng cung cấp dịch vụ truyền hình cáp nhưng không tính phí ban đầu và mỗi tháng khách hàng sẽ phải đóng 200 000 đồng.

a) Gọi \[T\] (đồng) là số tiền khách hàng phải trả cho mỗi công ty viễn thông trong \[t\] (tháng) sử dụng dịch vụ truyền hình cáp. Khi đó hãy lập hàm số \[T\] theo t đối với mỗi công ty.

b) Tính số tiền khách hàng phải trả sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng đối với mỗi công ty.

c) Khách hàng cần sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trên mấy tháng thì đăng kí bên công ty viễn thông A sẽ tiết kiệm chi phí hơn?

Giải các phương trình sau:

a) \[4x--5 = 2x + 1\];                                                   b) \[6x + 7 = 3x--2\];

c) \[7x - 10 = 4x + 11\];                                               d) \[5\left( {x - 3} \right) + 5 = 4x + 1\];

e) \[8x - 5 = 3\left( {x - 6} \right) + 7\];                     g) \[7x - \left( {12 + 5x} \right) = 6\].