Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10.\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1.\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\) d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\) f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\\\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1.\end{array} \right.\]
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \( - 2y = 6\). Suy ra \(y = - 3\).
Thay \(y = - 3\) vào phương trình \( - x + 3y = - 10\), ta được:
\( - x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10\) hay \( - x - 9 = - 10,\) do đó \(x = 1\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1; - 3} \right).\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\( - 3x = - 9\). Suy ra \(x = 3\).
Thay \(x = 3\) vào phương trình \(2x + 3y = - 1\), ta được:
\(2 \cdot 3 + 3y = - 1\) hay \(6 + 3y = - 1\), suy ra \(3y = - 7\), do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(y = - 2.\)
Thay \(y = - 2\) vào phương trình \(x + y = 0,\) ta được:
\(x + \left( { - 2} \right) = 0,\) do đó \(x = 2\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;\,\, - 2} \right).\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(0x + 0y = 0\) hay \(0x = 0.\)
Phương trình trên vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}.\)
Từ phương trình \(3x - 2y = - 2,\) ta có \(2y = 3x + 2\) hay \(y = \frac{3}{2}x + 1.\)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \(\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).
Phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.\) Suy ra \(x = - 1.\)
Thay \(x = - 1\) vào phương trình\(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\), ta được :
\(\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\) hay \( - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},\) suy ra \(\frac{9}{4}y = 1,\) do đó \(y = \frac{4}{9}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = \alpha .\)
a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)
b) Chứng minh rằng:
⦁ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) ⦁ \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\)
⦁ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\) ⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1;\)
⦁ \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha ;\) ⦁ \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha .\)
Lời giải
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\)
\(\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\).
(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)
Ta có:
⦁ \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \).
⦁ \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \).
⦁ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\).
⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1\).
⦁ \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
⦁ \[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\].
Câu 2
Haitrụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng hai bên lề đối diện một đại lộ rộng 80 m. Từ một điểm \(M\) trên mặt đường giữa hai trụ, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng lần lượt là \(30^\circ \) và \(60^\circ \). Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm \(M\) đến gốc mỗi trụ điện (làm tròn đến hàng phần trăm của mét).
Lời giải
Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như hình vẽ bên, trong đó \(AB,\,\,CD\) là hai trụ điện có chiều cao bằng nhau, nên \(AB = CD;\) \(AC = 80{\rm{\;m}}\) là khoảng cách giữa hai trụ điện; \(\widehat {AMB} = 30^\circ \) và \(\widehat {CMD} = 60^\circ \) là hai góc nâng tương ứng nhìn hai trụ điện từ vị trí \(M.\)
Đặt \(AB = CD = x\) (m) \(\left( {x > 0} \right)\).
Xét tam giác \(ABM\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}}\), suy ra \(AM = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AMB}}} = \frac{x}{{\tan 30^\circ }} = \frac{x}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = x\sqrt 3 \) (m).
Xét tam giác \(DCM\) vuông tại \(C\), ta có:
\[\tan \widehat {CMD} = \frac{{CD}}{{CM}},\] suy ra \[CM = \frac{{CD}}{{\tan \widehat {CMD}}} = \frac{x}{{\tan 60^\circ }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\] (m).
Vì \(AC = AM + MC\) nên ta có:
\(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + x\sqrt 3 = 80\)
\(x + 3x = 80\sqrt 3 \)
\(4x = 80\sqrt 3 \)
\(x = 20\sqrt 3 \approx 34,64\) (m).
Suy ra \(AM = x\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 60\;\,\,{\rm{m}}\) và \(CM = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 20\;{\rm{m}}\).
Vậy trụ điện cao khoảng \(34,64\) m và khoảng cách từ điểm \(M\) đến mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 80 – 20 = 60 m, tương ứng với trụ được nhìn với góc nâng \(30^\circ \) và \(60^\circ .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].
a) Giải tam giác \[ABC\].
b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].
c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập