a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8.\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3.\end{array} \right.\)
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1.\end{array} \right.\] d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5.\end{array} \right.\]
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0.\end{array} \right.\) f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8.\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3.\end{array} \right.\)
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1.\end{array} \right.\] d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5.\end{array} \right.\]
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0.\end{array} \right.\) f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).
Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:
\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).
Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)
Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:
\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)
Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:
\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).
d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]
Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)
Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:
\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)
Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:
\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\) (3)
Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\) (4)
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:
\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\) (Điều kiện xác định: \(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)
Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].
Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).
Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)
Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)
Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(3x = 6\) hay \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).
f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:
\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]
\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]
\[5\left( {x + 1} \right) = x\]
\[5x + 5 = x\]
\[4x = - 5\]
\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).
Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:
\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]
\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]
\[2\left( {y - 3} \right) = y\]
\[2y - 6 = y\]
\[y = 6\] (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]
Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = \alpha .\)
a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)
b) Chứng minh rằng:
⦁ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) ⦁ \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\)
⦁ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\) ⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1;\)
⦁ \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha ;\) ⦁ \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha .\)
Lời giải
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\)
\(\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\).
(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)
Ta có:
⦁ \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \).
⦁ \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \).
⦁ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\).
⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1\).
⦁ \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
⦁ \[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\].
Câu 2
Haitrụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng hai bên lề đối diện một đại lộ rộng 80 m. Từ một điểm \(M\) trên mặt đường giữa hai trụ, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng lần lượt là \(30^\circ \) và \(60^\circ \). Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm \(M\) đến gốc mỗi trụ điện (làm tròn đến hàng phần trăm của mét).
Lời giải
Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như hình vẽ bên, trong đó \(AB,\,\,CD\) là hai trụ điện có chiều cao bằng nhau, nên \(AB = CD;\) \(AC = 80{\rm{\;m}}\) là khoảng cách giữa hai trụ điện; \(\widehat {AMB} = 30^\circ \) và \(\widehat {CMD} = 60^\circ \) là hai góc nâng tương ứng nhìn hai trụ điện từ vị trí \(M.\)
Đặt \(AB = CD = x\) (m) \(\left( {x > 0} \right)\).
Xét tam giác \(ABM\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}}\), suy ra \(AM = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AMB}}} = \frac{x}{{\tan 30^\circ }} = \frac{x}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = x\sqrt 3 \) (m).
Xét tam giác \(DCM\) vuông tại \(C\), ta có:
\[\tan \widehat {CMD} = \frac{{CD}}{{CM}},\] suy ra \[CM = \frac{{CD}}{{\tan \widehat {CMD}}} = \frac{x}{{\tan 60^\circ }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\] (m).
Vì \(AC = AM + MC\) nên ta có:
\(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + x\sqrt 3 = 80\)
\(x + 3x = 80\sqrt 3 \)
\(4x = 80\sqrt 3 \)
\(x = 20\sqrt 3 \approx 34,64\) (m).
Suy ra \(AM = x\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 60\;\,\,{\rm{m}}\) và \(CM = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 20\;{\rm{m}}\).
Vậy trụ điện cao khoảng \(34,64\) m và khoảng cách từ điểm \(M\) đến mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 80 – 20 = 60 m, tương ứng với trụ được nhìn với góc nâng \(30^\circ \) và \(60^\circ .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].
a) Giải tam giác \[ABC\].
b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].
c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập