Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.

  a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\)

\(\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\).

(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)

Ta có:

⦁ \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \).

⦁ \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \).

⦁ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\).

⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1\).

⦁ \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

⦁ \[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\].

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như hình vẽ bên, trong đó \(AB,\,\,CD\) là hai trụ điện có chiều cao bằng nhau, nên \(AB = CD;\) \(AC = 80{\rm{\;m}}\) là khoảng cách giữa hai trụ điện; \(\widehat {AMB} = 30^\circ \) và \(\widehat {CMD} = 60^\circ \) là hai góc nâng tương ứng nhìn hai trụ điện từ vị trí \(M.\)

Đặt \(AB = CD = x\) (m) \(\left( {x > 0} \right)\).

Xét tam giác \(ABM\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}}\), suy ra \(AM = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AMB}}} = \frac{x}{{\tan 30^\circ }} = \frac{x}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = x\sqrt 3 \) (m).

Xét tam giác \(DCM\) vuông tại \(C\), ta có:

\[\tan \widehat {CMD} = \frac{{CD}}{{CM}},\] suy ra \[CM = \frac{{CD}}{{\tan \widehat {CMD}}} = \frac{x}{{\tan 60^\circ }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\] (m).

Vì \(AC = AM + MC\) nên ta có:

\(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + x\sqrt 3 = 80\)

\(x + 3x = 80\sqrt 3 \)

\(4x = 80\sqrt 3 \)

\(x = 20\sqrt 3 \approx 34,64\) (m).

Suy ra \(AM = x\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 60\;\,\,{\rm{m}}\) và \(CM = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 20\;{\rm{m}}\).

Vậy trụ điện cao khoảng \(34,64\) m và khoảng cách từ điểm \(M\) đến mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 80 – 20 = 60 m, tương ứng với trụ được nhìn với góc nâng \(30^\circ \) và \(60^\circ .\)