Người ta bơm 10³ m³ không khí nóng ở nhiệt độ T = 300 K vào một khinh khí cầu. Nhiệt độ và áp suất của khí quyển lúc này là T₀ = 279 K và p₀ = 1,00 bar. Khối lượng khí cầu là 240 kg. Khi đó, khinh khí cầu chưa thể bay lên được.

(a) Tính lượng không khí chứa trong khinh khí cầu. Biết muốn khí cầu bay lên chỉ cần tăng nhiệt độ của không khí trong khí cầu mà không cần bơm thêm không khí vào hoặc lấy bớt không khí ra. Coi đây là quá trình đẳng áp; nhiệt dung riêng đẳng áp của không khí là $c{}_{mp}=7\frac{R}{2};$ hằng số khí lí tưởng R = 8,31 J/mol.K và khối lượng mol của không khí M_A = 29 g/mol.

(b) Tính thể tích của khí cầu để nó có thể bắt đầu bay lên.

(c) Tính nhiệt lượng cần cung cấp cho khí cầu để đun nóng không khí.

T₀ = 279 K và p₀ = 1,00 bar = 10⁵ Pa; T = T₁ = 300 K

1. Lượng không khí trong khí cầu khi chưa bay lên: $\text{n}=\frac{\text{p}{}_0 \text{V}{}_0}{\text{R}\text{T}{}_1}=4,01\cdot 10{}^4 \text{m}\text{o}\text{l}$

Khối lượng không khí trong khí cầu khi chưa bay lên: m_kk = n.M_A = 1,16.10³ kg.

Khối lượng của cả khí cầu: m_kc = 240 kg + 1,16.10³ kg = 1,40.10³ kg.

2. Trạng thái của không khí trong khí cầu khi chưa bay lên: $\left(\text{p}{}_1=\text{p}{}_0;\text{V}{}_1=\text{V}{}_0=10^3 \text{m}{}^3;\text{T}{}_1=300 \text{K}\right)$

Trạng thái của không khí trong khí cầu khi bay lên: $\left(\text{p}{}_2=\text{p}{}_0;\text{V}{}_2=?;\text{T}{}_2=?\right)$

Coi khi bay lên lực đẩy Archimedes bằng trọng lượng của khí cầu: $\text{F}{}_{\text{A}}=\text{P}\Rightarrow \text{D}{}_0\text{g}\text{V}{}_2=\text{m}{}_{\text{k}\text{c}}\text{g}$ (1)

Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng: $\text{p}{}_0\text{V}{}_0=\text{n}{}_0\text{R}\text{T}{}_0$ và công thức tính khối lượng riêng của không khí: $\text{D}{}_0=\frac{\text{m}}{\text{V}{}_0}=\frac{\text{n}\text{M}}{V_0}$ rút ra: $\text{D}{}_0=\frac{\text{p}{}_0\text{M}}{\text{R}\text{T}{}_0}=1,25 \text{k}\text{g}/\text{m}{}^3$

Từ (1) suy ra $V{}_2=\frac{m_{kc}}{ D_0}=\frac{1,40\cdot 10{}^3}{1,25}=1,12\cdot 10{}^3 m{}^3$

3. Vì số mol n và áp suất p của không khí trong khí cầu không đổi nên đây là quá trình đẳng áp của một lượng khí không đổi: $\frac{\text{T}{}_2}{ \text{T}{}_1}=\frac{\text{V}{}_2}{ \text{V}{}_1}=1,12\Rightarrow \text{T}{}_2=336 \text{K}.$

$\text{Q}=m_{kk}\text{c}{}_{\text{m}\text{p}}\Delta \text{T}=m_{kk}.\frac{7}{2}\text{R}\Delta \text{T}=1,16.10^3.\frac{7}{2}.8,31.(336-279)=1,92.10^6 \text{J}.$