Cho hình lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\).

Phép chiếu song song theo phương chiếu \(A'A\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) của đoạn thẳng \(A'M\) thành đoạn thẳng?

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap AM\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) qua \(I\) kẻ \(EF//BD\), khi đó ta có \(\left( {AEMF} \right) \equiv \left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BD\). Do đó thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là tứ giác \(AEMF\).

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{FE\,{\rm{//}}\,BD}\\{BD \bot \left( {SAC} \right)}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow FE \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow FE \bot AM\].

Mặt khác ta có:

*\(AC = 2a = SA\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(AM = a\sqrt 2 \).

* \(I\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), mà \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) nên tính được \(EF = \frac{2}{3}BD = \frac{{4a}}{3}\).

Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo \(FE \bot AM\) nên \({S_{AEMF}} = \frac{1}{2}FE.AM = \frac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

Vì  \(AA'//CC'\) và \(A'\) thuộc \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'\) là hình chiếu song song của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(CC'\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng \(MM'//BB'\) với \(M' \in A'B'\). Khi đó \(M'\) là hình chiếu song song của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(BB'\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(BB'C'\) nên \(OI//BB' \Rightarrow OI//AA'\) mà \(I \in \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(I\) là ảnh của \(O\)  trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) qua phép chiếu song song phương \(AA'\).