Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \pi x}&{{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| \le 1}\\{x + 1\;}&{{\rm{khi}}\,\;\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn A.

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 1\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4\)

Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)\). Suy ra \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x) =  - 4\)

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} <  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) =  - 1 - 2 =  - 3\).

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} >  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1}  = \sqrt 2 \).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f(x)\).