Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có \(I,K,G\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,A'B'C',\)\(ACC'\). Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C'\).

Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C'\).

\(MM'\) là đường trung bình của hình bình hành \(BCC'B'\) nên

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MM'//BB'}\\{MM' = BB'}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MM'//AA'}\\{MM' = AA'}\end{array} \Rightarrow AMM'A'} \right.} \right.{\rm{ l\`a  h\`i nh b\`i nh h\`a nh}}{\rm{. }}\]

Vì \(I,K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ABC,A'B'C'\) nên

\(IM = KM' = \frac{1}{3}A'M' = \frac{1}{3}AM,\)mà \(IM//KM'\) nên \(IKM'M\) là hình bình hành.

Suy ra \(IK//MM',MM' \subset \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow IK//\left( {BCC'B'} \right)\). (1)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CC'\), tam giác \(AMN\) có

\(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}{\rm{  }}\)(tính chất trọng tâm)

Suy ra \(IG//MN\) mà \(MN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(IG//\left( {BCC'B'} \right)\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra \((IKG)//\left( {BCC'B'} \right)\).

Vì \(\left( {A'KG} \right) \equiv \left( {A'M'C} \right),\left( {AIB'} \right) \equiv \left( {AMB'} \right)\), ta cần chứng minh \(\left( {A'M'C} \right)//\left( {AMB'} \right)\).

Dễ thấy \(AMM'A'\) là hình bình hành nên \(AM//A'M'\) mà \(A'M' \subset \left( {A'M'C} \right)\) nên \(AM//\left( {A'M'C} \right)\). (3)

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CM//B'M'}\\{CM = B'M'}\end{array} \Rightarrow CMB'M'} \right.\) là hình bình hành, suy ra \[B'M//CM',CM'{\kern 1pt}  \subset \left( {A'M'C} \right)\] \[ \Rightarrow B'M//\left( {A'M'C} \right)\]. (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\left( {A'M'C} \right)//\left( {AMB'} \right)\), hay \(\left( {A'KG} \right)//\left( {AIB'} \right)\).