Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1}  - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1}  - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1}  + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1}  + 1)}} = \frac{1}{2}.\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).

Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).