Gọi \({x_1};\,{x_2}\) lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\). Tính tổng \(S = 2{x_1} + {x_2}\).

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).

\(\begin{array}{l}\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} =  - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S =  - \frac{\pi }{2}\).