Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 28 đến câu 30.

Cho hàm số $f\left(x\right)=3^{\sqrt{x^2+1}+x}-3^{\sqrt{x^2+1}-x}$

Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là    

1. Đúng.  Có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {\left( {2a} \right)^2} = \frac{{4{a^3}}}{3}\).

2. Sai. Hạ \(AH \bot SB\)(1).

Có \(BC \bot AB\) và \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \).

3. Đúng. Có \(SA \bot AB,AB \bot BC\) nên \(d\left( {SA,BC} \right) = AB = 2a\).

4. Sai. Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AM\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Khi đó \(\left( {SM,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}\).

Vì \(M\)là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC = a\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\), có \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SMA} \approx 42^\circ \).

5. Sai.

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(ME//CN\left( {E \in AB} \right)\) \( \Rightarrow CN//\left( {SME} \right)\).

Khi đó \(d\left( {SM,CN} \right) = d\left( {CN,\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)\).

Lại có \(\frac{{d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right)}} = \frac{{NE}}{{AE}} = \frac{{\frac{1}{2}NB}}{{\frac{7}{2}NB}} = \frac{1}{7}\).

Kẻ \(AK \bot ME\), Kẻ \(AJ \bot SK\)(3).

Có \(AK \bot ME\) mà \(ME \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(ME \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ME \bot AJ\) (4).

Từ (3) và (4), suy ra \(AJ \bot \left( {SME} \right)\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = AJ\).

Có \({S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}MB \cdot AE = \frac{1}{2}MB \cdot \frac{7}{8}AB = \frac{7}{{16}} \cdot a \cdot 2a = \frac{7}{8}{a^2}\).

Có \(CN = \sqrt {B{C^2} + B{N^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Có \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta BCN\) nên \(ME = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt {17} }}{4}\).

Lại có \({S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}AK \cdot ME = \frac{7}{8}{a^2} \Rightarrow AK = \frac{{7a}}{{\sqrt {17} }}\).

Xét \(\Delta SAK\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{{17}}{{49{a^2}}} = \frac{{117}}{{196{a^2}}}\)\( \Rightarrow AJ = \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}}\).

Suy ra \(d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7}d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}\). Chọn 1, 3.

Ta có \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + b{t^2} + ct + 12000\).

Khi đó \(v\left( t \right) = f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + 2bt + c\).

Ngày 26/9/2024 ứng với \(t = 270\) là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với \(55\;740\)con nên hàm số đạt cực đại tại \(t = 270\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {270} \right) = 0\\f\left( {270} \right) = 55740\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{{100}} \cdot {270^2} + 540b + c = 0\\ - \frac{1}{{300}} \cdot {270^3} + b \cdot {270^2} + 270c + 12000 = 55740\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}540b + c = 729\\72900b + 270c = 109350\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{6}{5}\\c = 81\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đã cho là \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{6}{5}{t^2} + 81t + 12000\).

Thử lại \(f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{12}}{5}t + 81\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 270\\t =  - 30\end{array} \right.\).

Vì \(t > 0\)nên \(t =  - 30\) loại.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy tại thời điểm t = 270, tốc độ thay đổi quy mô quần thể bằng 0, trước đó quần thể đang trong giai đoạn tăng trưởng và sau đó bắt đầu suy giảm. Chọn C.