Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).

Ngày nay, để giúp xác định nhanh hàng thật hay giả một chiếc đồng hồ Rolex, ta dựa vào tốc độ góc thay đổi giữa các kim của đồng hồ (rad/phút). Chiếc đồng hồ Rolex được thẩm định có kích thước chuẩn (loại cho nam) ở kim giờ và kim phút lần lượt là 10 mm và 15 mm. Biết rằng góc giữa hai kim là hàm \(\theta \left( t \right)\)với \(t\)là số phút sau 12 giờ chiều (tức thời điểm hai kim trùng nhau chỉ vào số 12). Xét tam giác \(OAB\) tạo bởi tâm đồng hồ \(O\), đầu kim giờ \(A\) và đầu kim phút \(B\). Những phương án nào dưới đây đúng?    

1. Đúng. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Mà \(SO \subset \left( {SMN} \right)\) nên \(\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

2. Đúng. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) nên \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Suy ra \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).

3. Sai. Vì \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a\) có \(M,N\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) nên \(MN = a\).

Có \(O = AC \cap BD\) nên \(O\)là trung điểm của \(AC,BD,MN \Rightarrow ON = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\).

Xét \(\Delta SON\) vuông tại \(O\)có \(SN = \sqrt {S{O^2} + O{N^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\).

Có \(SB = SC\) nên \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) mà \(N\)là trung điểm của \(BC\) nên \(SN \bot BC\).

Khi đó \({S_{SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SN \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Có \({V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot {S_{SBC}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}\).

Mà \({V_{A.SBC}} = {V_{S.ABC}}\) nên \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

4. Đúng. Có \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SO\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(OH \bot SC\) tại \(H\).

Mà \(OH \cap BD\)trong mặt phẳng \(\left( {BHD} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot BH\) và \(SC \bot DH\) nên \(\left[ {B,SC,D} \right] = \widehat {BHD}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) \( \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OB = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\) có \(OH \bot SC\).

Khi đó \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow O{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}}\).

Xét \(\Delta BOH\)vuông tại \(O\), có \(B{H^2} = O{H^2} + O{B^2} = \frac{{3{a^2}}}{{10}} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\).

Tương tự \(D{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(BHD\) có \(\cos \widehat {BHD} = \frac{{B{H^2} + D{H^2} - B{D^2}}}{{2 \cdot BH \cdot DH}} = \frac{{2 \cdot \left( {\frac{{4{a^2}}}{5}} \right) - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{4{a^2}}}{5}}} =  - \frac{1}{4}\). Chọn 1, 2, 4.

1. Đúng. Với \[HE = x\] thì \[FK = 24 - x\] (\[0 < x < 24\]). Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

2. Sai. Tổng quãng đường đi từ A đến B là \[AE + EF + BF = \sqrt {25 + {x^2}}  + \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}}  + EF\] (km).

3. Đúng. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25}  + \sqrt {{x^2} - 48x + 625} \];

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\].

4. Sai. Ta cần tổng quãng đường \[AE + EF + FB\] ngắn nhất, mà EF không đổi nên \[AE + FB\] bé nhất.

Từ câu c) ta có \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\].

Bảng biến thiên:

Ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\,\,24} \right)} f\left( x \right) = 12\sqrt 5 \]; khi đó \[x = 10\,\,km\] và \[BF = 7\sqrt 5 \,\,km \approx 15,65\,\,km\]. Chọn 1, 3.

1. Sai. Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;1;2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \)

Do đó phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 5\).

2. Đúng. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy \(A \notin \left( P \right)\) và \(A \notin \left( {Oxy} \right)\).

Gọi \({A_1},{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \({A_1}\left( {3;0;4} \right)\) và \({A_2}\left( {1;2; - 2} \right)\).

Ngoài ra, do điểm \(A\), hai mặt phẳng\(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) cố định nên hai điểm \({A_1},{A_2}\) cố định.

Khi đó, với mọi \(D \in \left( P \right),E \in \left( {Oxy} \right)\), ta có \(DA = D{A_1},EA = E{A_2}\).

Chu vi \(\Delta ADE\):

\(P\left( {\Delta ADE} \right) = AD + DE + EA = {A_1}D + DE + E{A_2} \ge {A_1}{A_2} = 2\sqrt {11} \)

Dấu  xảy ra khi \({A_1},D,E,{A_2}\) thẳng hàng.

3. Sai. Dễ thấy \[{\Delta _1} \cap {\Delta _2} = C\left( {1;0; - 2} \right)\] và \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = \left( {0; - 5; - 5} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\left( \alpha  \right):y + z + 2 = 0\).

Gọi \(D = {\Delta _3} \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow D\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\) và \(E = {\Delta _4} \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow E\left( {1;1; - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {DE}  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {DE}  = \left( {3;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\) không cùng phương; \(\overrightarrow {DE}  = \left( {3;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\) không cùng phương.

Suy ra đường thẳng \(DE\) cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

Mà \(D = {\Delta _3} \cap \left( \alpha  \right)\) và \(E = {\Delta _4} \cap \left( \alpha  \right)\) nên đường thẳng \(DE\) cắt cả bốn đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3},{\Delta _4}\).

Do đó, một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

4. Đúng. Ta thấy mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + y + z - 6 = 0\) cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(M\left( {3;0;0} \right)\), \(N\left( {0;6;0} \right)\)\(P\left( {0;0;6} \right)\). Dễ dàng kiểm tra được điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\) chính là trọng tâm của tam giác \(MNP\). Chọn 2, 4.

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó là người trẻ”

\(B\) là biến cố “Người đó hồi phục tốt”

\(C\) là biến cố “Người đó tiếp tục liệu trình chuyên sâu”

Xét bệnh nhân là người trẻ. Theo đề \(P\left( A \right) = 0,7\).

Suy ra \(P\left( {BC} \right) = 50\%  = 0,5\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 30\%  = 0,3\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\%  = 0,2\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

Xét bệnh nhân là người trung niên có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).

\(P\left( {BC} \right) = 20\%  = 0,2\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 10\%  = 0,1\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\%  = 0,7\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

1. Sai. Ta có \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,5 + 0,3 = 0,8\).

2. Đúng. Ta có \(\overline C  = \overline C AB \cup \overline C A\overline B  \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B \).

\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,7 = 0,59\).

3. Đúng. \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0,41\).

\(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).

\(P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0,7 \cdot 0 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\).

Suy ra \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,41}} \approx 0,854 > 0,85\).

4. Đúng.\[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\];

\(P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0,3 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,24\).

\(P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,65\).

Suy ra \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{0,24}}{{0,65}} \approx 0,37\]. Chọn 2, 3, 4.