Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4).

Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính.

Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.

(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|

(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|

⇒ |a| = |b|

⇒ a = b hoặc a = –b.

+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2

⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2

⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0

⇔ a2 – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5.

* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.

Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.

* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.

Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2

⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 - a2 = 0

⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.

a) Do A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0

⇔ 5 – 2a – 4b + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)

Do B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.a.5 – 2.b.2+ c = 0

⇔ 29 – 10a – 4b + c = 0 ⇔ 10a + 4b – c = 29 (2)

Do C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0

⇔ 10 – 2a + 6b + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.

b)

M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)

N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)

P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.