Cho hình chóp S. ABCD. Gọi $A_1$ là trung điểm của cạnh SA và $A_2$ là trung điểm của đoạn $A{A}_1$. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_1, C_1, D_1$ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_2, C_2, D_2$. Chứng minh:

a) $B_1, C_1, D_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

b) $B_1{B}_2 = B_{2}B, C_1{C}_2 = C_{2}C, D_1{D}_{2 }= D_{2}D.$

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

Cho hai mặt phẳng song song α và β. Đường thẳng d nằm trong α (h.2.47). Hỏi d và β có điểm chung không?

Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).

Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng.