Cho hình chóp S. ABCD. Gọi $A_1$ là trung điểm của cạnh SA và $A_2$ là trung điểm của đoạn $A{A}_1$. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_1, C_1, D_1$ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_2, C_2, D_2$. Chứng minh:

a) $B_1, C_1, D_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

b) $B_1{B}_2 = B_{2}B, C_1{C}_2 = C_{2}C, D_1{D}_{2 }= D_{2}D.$

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành

Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình

Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’

=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành

b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :

Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)

⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).

c)

Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :

K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)

K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)

⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.

Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’

d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.

Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)

G ∈ C’K.

⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.

+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’

⇒ K là trung điểm AB’.

ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K

⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.

a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC

⇒ A’D’CB là hình bình hành

⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)

+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’

⇒ BDD’B’ là hình bình hành

⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O = AC ∩ BD

+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)

⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).

Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.

G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)

⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).

+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’

⇒ A’I = IC.

⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC

$\Rightarrow G_{1 }= A’O \cap AC’$ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC

$\Rightarrow G_1$ là trọng tâm ΔA’AC

$\Rightarrow A’G_1 = 2.A’O/3$

$\Rightarrow G_1$ cũng là trọng tâm ΔA’BD.

Vậy AC' đi qua trọng tâm $G_1$ của ΔA’BD.

Chứng minh tương tự đối với điểm $G_2$.

c) *Vì $G_1$ là trọng tâm của ΔAA’C nên $A{G}_1/AI = 2/3$ .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : $A{G}_1 = 1/3.AC’$

*Chứng minh tương tự ta có : $C’G_2 = 1/3.AC’$

Suy ra : $A{G}_1 = G_1{G}_2 = G_{2}C’ = 1/3.AC’$.

d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.