Một con lắc lò xo gồm lò xo độ cứng $k=25 N/m$ ma sát giữa vật $m$ và sàn có thể bỏ qua. Vật $M$ khối lượng 200 g được nối với vật m bằng một sợi dây nhẹ, dài và không dãn như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt giữa $M$ và sàn là 0,25. Lúc đầu vật được giữ ở vị trí lò xo dãn 10 cm (trong giới hạn đàn hồi), sợi dây căng. Thả nhẹ vật $m$ để hệ chuyển động. Lấy $g=10 m/s^2$. Tính từ thời điểm lò xo bị nén mạnh nhất lần đầu tiên, tốc độ cực đại của vật $m$ là

Đáp án D

Để đơn giản ta có thể chia quá trình chuyển động của vật thành 3 giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Hệ hai vật $m$ và $M$ dao động điều hòa chịu tác dụng thêm của lực ma sát

$\to$ Trong giai đoạn này vật  dao động quanh vị trí cân bằng tạm $O\text{'}$, tại vị trí này lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực đàn hồi, khi đó lò xo giãn một đoạn $O{O}^{\text{'}}=\Delta l_0=\frac{\mu Mg}{k}=\frac{0,25.0,2.10}{25}=2 cm$

Biên độ dao động của vật là $A_1=10-2=8 cm$, tốc độ góc ${\omega }_1=\sqrt{\frac{k}{M+m}}=\sqrt{\frac{25}{0,3+0,2}}=5\sqrt{2} rad/s$

$\to$ Tốc độ của hai vật khi đến vị trí $O\text{'} : v=v_{1max}={\omega }_1{A}_2=5\sqrt{2}.8=40\sqrt{2} cm/s$

Giai đoạn 2: Hệ hai vật tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $O\text{'}$ cho đến khi dây bị chùng và vật $m$ tách ra khỏi vật $M$

Tại vi trí vật $m$ tách ra khỏi vật $M$ dây bị chùng, $T=0\to$ với vật $M$ ta có $F_{mst}=M{\omega }_1^2\left|x\right|\to \left|x\right|=\frac{\mu g}{{\omega }_1^2}=\frac{0,25.10}{{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=5 cm$

$\to$ Tốc độ của vật $m$ tại vị trí dây chùng $v_{02}={\omega }_1\sqrt{A_1^2-x^2}=5\sqrt{2}\sqrt{8^2-5^2}=5\sqrt{78} cm/s$

Giai đoạn 3: Khi tách ra khỏi vật $M, m$ dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng $O$

Tần số góc trong giai đọan này ${\omega }_2=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{25}{0,3}}=\frac{5\sqrt{30}}{3} rad/s$

$\to$ Biên độ dao động trong giai đoạn này $A_2=\sqrt{x_{02}^2+{\left(\frac{v_{02}}{{\omega }_2}\right)}^2}=\sqrt{3^2+{\left(\frac{5\sqrt{78}}{\frac{5\sqrt{30}}{3}}\right)}^2}=\frac{9\sqrt{10}}{5} cm$

Giai đoạn 4: Con lắc do động điều hòa ổn định không với biên độ $A=A_2$ và một chịu tác dụng của vật $M$

$\to$ Tốc độ cực đại $v_{2max}={\omega }_2{A}_2=\frac{5\sqrt{30}}{3}\frac{9\sqrt{10}}{5}=30\sqrt{3}\approx 52,0 cm/s$

Chú ý:

Ta để ý rằng khi vật $m$ đi qua khỏi vị trí cân bằng tạm $O\text{'}$ thì tốc độ có xu hướng giảm, ngay lập tức dây chùng $\to$ vật $m$ sẽ tiếp tục dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $O\to$ tốc độ lại có xu hướng tăng do đó trong giai đoạn từ $O\text{'}$ đến $O$ dây vẫn được giữ căng