Trong thí nghiệm khe Y−âng về giao thoa ánh sáng, sử dụng đồng thời ba bức xạ đơn sắc có bước sóng là ${\lambda }_1=0,42\mu m$, ${\lambda }_2=0,56\mu m$ và ${\lambda }_3$. Trên màn, trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm, ta thấy có 2 vạch sáng là sự trùng nhau của hai vân sáng ${\lambda }_1$ và ${\lambda }_2$ và thấy có 3 vạch sáng là sự trùng nhau của hai vân sáng ${\lambda }_1$ và ${\lambda }_3$. Bước sóng ${\lambda }_3$ có thể là giá trị nào dưới đây?

Đáp án D

Điều kiện trùng ba:

$\begin{array}{l}{x}_{\equiv 3}=k_1.i_1=k_2.i_2=k_3.i_3\left(k_1,k_2,k_3\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff k_1.{\lambda }_1=k_2.{\lambda }_2=k_3.{\lambda }_3\\ \iff 0,42k_1=0,56k_2={\lambda }_3{k}_3\\ \iff 3k_1=4k_2=\mathrm{...}{k}_3\end{array}$

Các cặp trùng nhau của bức xạ 1 và 2 là: (0;0), (4;3), (8;6),(12;9),…

(0;0) là cặp vân trung tâm trùng ba, trong khoảng hai vân sáng cùng màu vân trung tâm (vân trùng ba) có 2 vân trùng màu 1 và 2 nên cặp (12;9) là cặp trùng ba tiếp theo.

Giữa cặp (0;0;0) và (12;9;c) có 3 vân trùng đôi của 1 và 3 nên cặp trùng đôi đầu tiên của 1 và 3 là $\Rightarrow 3i_1=k{i}_3\iff 3{\lambda }_1=k{\lambda }_3\Rightarrow k=\frac{3{\lambda }_1}{{\lambda }_3}=\frac{3.0,42}{{\lambda }_3}\left(*\right)$

Thay 4 đáp án đề cho vào (*), thấy với ${\lambda }_3=0,63\mu m$ thì $k=2\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn.

Giao thoa ba bức xạ đơn sắc ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$

− Khi hai nguồn giao thoa phát đồng thời ba bức xạ thì trên màn quan sát có thể thấy ba loại vân:

• Vân đơn: vân có màu ứng với bức xạ 1, 2 và 3.

• Vân trùng đôi: ba màu trộn 1−2, 2−3, 1−3.

• Vân trùng ba: màu vân trung tâm. Cứ sau mỗi quãng lại có sự trùng nhau của ba vân sáng, khi đó ta có một vân trùng màu với vân trung tâm.

− Tại vị trí ba vân sáng trùng nhau thì:

$x_{\equiv 3}=k_1.i_1=k_2.i_2=k_3.i_3\left(k_1,k_2,k_3\in \mathbb{Z}\right)$$\iff k_1.{\lambda }_1=k_2.{\lambda }_2=k_3.{\lambda }_3$ (1)

• Nguyên hóa và tối giản (1) $\Rightarrow k_1.a=k_2.b=k_3.c$.

• Tìm bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) X của a, b, c.

Suy ra, một số kết quả sau:

• Khoảng vân trùng ba: $i_{\equiv 3}=\frac{X}{a}{i}_1=\frac{X}{b}{i}_2=\frac{X}{a}{i}_3$

• Vị trí các vân trùng ba trên màn: $x_{\equiv 3}=k.i_{\equiv 3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

• Tổng các vị trí trùng ba trên đoạn MN bằng số các giá trị k nguyên thỏa mãn: $x_N\le x_{\equiv 3}=k.i_{\equiv 3}\le x_M$

• Tổng vân quan sát được (trùng tính bằng một) trong khoảng MN bất kì: $N=\sum -{\sum }_{đôi}-2.{\sum }_{ba}$