Hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn $S_1{S}_2=9\lambda$ phát ra dao động $u=a\cos \omega t.$ Trên đoạn S₁S₂ số điểm có biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn (không kể hai nguồn) là

Đáp án A

Gọi điểm M bất kì trên AB

Phương trình sóng tại M:

$\begin{array}{l}{u}_M=2A\cos \left[\frac{\pi \left(d_2-d_1\right)}{\lambda }\right]\cos \left[\omega t-\frac{\pi \left(d_1+d_2\right)}{\lambda }\right]\\ \Rightarrow u_M=2A\cos \left[\frac{\pi \left(d_2-d_1\right)}{\lambda }\right]\cos \left(\omega t-9\pi \right)\\ =2A\cos \left[\frac{\pi \left(d_1-d_2\right)}{\lambda }+\pi \right]\cos \left(\omega t\right).\end{array}$

Để M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với 2 nguồn thì:

$$\begin{gathered} \cos \left[\frac{\pi \left(d_1-d_2\right)}{\lambda }+\pi \right]=1 \\ \Rightarrow \frac{\pi \left(d_1-d_2\right)}{\lambda }+\pi =k2\pi \\ \Rightarrow d_1-d_2=\lambda \left(2k-1\right). \end{gathered}$$

Ta có:  

$$\begin{gathered} -9\lambda <d_1-d_2=\left(2k-1\right)\lambda <9\lambda \\ \Rightarrow -4<k<5\Rightarrow k=-3;-2;\mathrm{...};4. \end{gathered}$$

Có 8 giá trị k thỏa mãn.

Xác định phương trình sóng cơ tại điểm trong trường giao thoa

Giao thoa của hai sóng phát ra từ nguồn sóng kết hợp S₁S₂ cách nhau một khoảng 1.

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn:

(Điểm M cách hai nguồn lần lượt là d₁, d₂)

$u_1=A\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)$ và $u_2=A\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right).$

+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

$u_{1M}=A\cos \left(\omega t-2\pi \frac{d_1}{\lambda }+{\phi }_1\right)$ và $u_2=A\cos \left(\omega t-2\pi \frac{d_2}{\lambda }+{\phi }_2\right).$

+ Phương trình giao thoa sóng tại M: $u_M=u_{1M}+u_{2M}$

$u_{1M}=2A\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }+\frac{\Delta \phi }{2}\right)\cos \left(\omega t-\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right).$

TH1: Hai nguồn dao động cùng pha $\Delta \phi =0$

Phương trình giao thoa sóng: $u_{1M}=2A\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\right)\cos \left(\omega t-\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }\right).$

Biên độ dao động tổng hợp: $A_M=2A\left|\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\right)\right|.$

Biên độ đạt giá trị cực đại $A_M=2A\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }=\pm 1\iff d_2-d_1=k\lambda .$

Biên độ đạt giá trị cực tiểu: $A_M=0\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }=0\iff d_2-d_1=\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda .$

Nếu O là trung điểm của đoạn S₁S₂ thì tại O hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn S₁S₂ sẽ dao động với biên độ cực đại và A_M = 2A (vì lúc này d₁ = d₂).

TH2: Hai nguồn dao động ngược pha $\Delta \phi =\pi$

Phương trình giao thoa sóng:

$u_{1M}=2A\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\pm \frac{\pi }{2}\right)\cos \left(\omega t-\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right).$

Biên độ dao động tổng hợp: $A_M=2A\left|\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\right)\pm \frac{\pi }{2}\right|.$

Biên độ đạt giá trị cực đại $A_M=2A\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }\pm \frac{\pi }{2}=\pm 1$$\iff d_2-d_1=\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda$ 

Biên độ đạt giá trị cực tiểu: $A_M=0\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }\pm \frac{\pi }{2}=0\iff d_2-d_1=k\lambda$ 

Nếu O là trung điểm của đoạn S₁S₂ thì tại O hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn S₁S₂ sẽ dao động với biên độ cực tiểu và A_M =0 (vì lúc này d₁ = d₂).

TH3: Hai nguồn dao động vuông pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{2}.$ 

Phương trình giao thoa sóng:

$u_{1M}=2A\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\pm \frac{\pi }{4}\right)\cos \left(\omega t-\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }+\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right).$

Biên độ dao động tổng hợp: $A_M=2A\left|\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\right)\pm \frac{\pi }{4}\right|.$ 

Biên độ đạt giá trị cực đại $A_M=2A\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }\pm \frac{\pi }{4}=\pm 1$$\iff d_2-d_1=\left(k+\frac{1}{4}\right)\lambda .$ 

Biên độ đạt giá trị cực tiểu: $A_M=0\iff \cos \pi \frac{d_2-d_1}{\lambda }\pm \frac{\pi }{4}=0$$\iff d_2-d_1=\left(k-\frac{1}{4}\right)\lambda .$ 

Nếu O là trung điểm của đoạn S₁S₂ thì tại O hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn S₁S₂ sẽ dao động với biên độ cực tiểu và $A_M=A\sqrt{2}$ (vì lúc này d₁ = d₂).

Lưu ý: Khi giải bài tập cần chú ý đề bài cho hai nguồn dao động cùng pha, ngược pha hay vuông pha để viết phương trình và tìm các đại lượng thích hợp.